Sobre una suma doble con números primos

Question

$$\sum_{i,j=1}^{\infty}\left[\frac{x}{p_ip_j}\right]=x\sum_{p_ip_j\leq x}\frac{1}{p_ip_j}+O(x),p_i< p_j$$ donde $p_i$ es el $i$ y "[ ]" representa el mayor número entero que no exceda...

No sé cómo afrontarlo. ¿Podría darme una prueba?

Answer 1

La suma de la izquierda es $$\sum_{i,j=1}^{\infty} \left[ \frac x{p_i p_j} \right] = \sum_{p_i p_j \le x} \left[ \frac{x}{p_i p_j} \right]$$ porque si $p_i p_j > x$, a continuación, la parte entera es sólo $0$, por lo tanto, usted no necesita a la suma de un número infinito de términos. Queda por ver que no es $O(x)$ términos en la suma, ya que $$z = [z] + \{z\} \qquad \text{ con } \qquad \{z\} \le 1.$$ por lo que se puede ver en la suma de la izquierda como la suma de su derecho + los restos, que sólo será necesario "contar" cómo muchos de ellos aparecen, ya que todos los términos que se suma será menor que $1$. Por lo tanto mostrando que hay en la mayoría de las $O(x)$ términos en que la suma de muestra que puede obligados el resto de la suma por $O(x) \times 1 = O(x)$.

El número de términos en la suma es $$\begin{align*} \# \left\{ (p_i,p_j) \, | \, p_i p_j \le x, p_i < p_j \right\} &\le \, \# \left \{ n \, | \, n \text{ is composite }, n \le x \right \} \\ &= x - \pi(x) \\ &\sim x - \frac {x}{\log x} \\ &= O(x). \end{align*}$$ (Rugosa atado a pesar de que acaba de ser $x$ y podría todavía ser $O(x)$, pensé en hacer un poco mejor.)

(AÑADIDO : Aleks preguntaba por qué mi la desigualdad, así es que voy a agregar la prueba aquí. Llame el juego con el primer parejas $A$ y el conjunto con los composites $B$. La aplicación que lleva un par $(p_i, p_j)$ $p_i < p_j$ a su producto $p_i p_j = n$ es inyectiva, pues si $p_i^1 p_j^1 = n_1 = n_2 = p_i^2 p_j^2$, ya que el $p_i^k < p_j^k$ debemos tener $p_i^1 = p_i^2$$p_j^1 = p_j^2$. Desde esta aplicación es inyectiva, $\# A \le \# B$. )

Esto le da a usted $$\begin{align*} \sum_{i,j=1}^{\infty} \left[ \frac{x}{p_i p_j} \right] &= \sum_{p_i p_j \le x} \left[ \frac x{p_i p_j} \right]\\ &= \sum_{p_i p_j \le x} \left( \frac x{p_i p_j} - \left\{ \frac{x}{p_ip_j} \right\} \right)\\ &= x \left( \sum_{p_i p_j \le x} \frac 1{p_i p_j} \right) - \sum_{p_i p_j \le x} \left\{ \frac{x}{p_ip_j} \right\} \end{align*}$$ y desde la última suma contiene $O(x)$ términos menos de $1$$O(x)$.

Espero que ayude,

Answer 2

Depuis $\pi_2(x):=\#\{n \leq x:\omega(n)=2 \}\ll \frac{x}{(\log x)^2}(\log \log x)^2$ el término de error es $\frac{x}{(\log x)^2}(\log \log x)^2=o(x).$ $\omega(n)$ denota el número de primos que dividen a $n$ .