Para la ecuación que describe un hyperboloid en un número indefinido de dimensiones centrado en $v$: $$ (x-v)^TA(x-v)=1$$ He leído que los dos toldo hyperboloid $A$ tiene un autovalor positivo y dos negativos, viceversa para el toldo. Desde una $n\times n$ matriz puede tener hasta a $n$ autovalores, ¿cómo se puede determinar cuántas hojas de un hyperboloid tiene en $n$ dimensiones?
Respuesta
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De manera similar.
Decir que $A$ $k$ positiva y $n-k$ negativo autovalores. Después de un cambio de coordenadas, se puede reescribir la ecuación como
$$ x_1^2+x_2^2+\dots+x_k^2-x_{k+1}^2-\dots-x_n^2=1 $$ o, equivalentemente, $$ x_1^2+x_2^2+\dots+x_k^2=1+x_{k+1}^2+\dots+x_n^2 $$
Aviso de que podemos elegir $x_{k+1},\dots,x_n$ arbitrariamente; de haberlo hecho, $x_1,\dots,x_k$ se ve obligado a mentir en un $(k-1)$-esfera de radio $\sqrt{1+x_{k+1}^2+\dots+x_n^2}$.
Esto le da un diffeomorphism de este hyperboloid a $\Bbb{R}^{n-k} \times S^{k-1}$. Si $k>1$, ambos factores son espacios conectados, y por lo que el hyperboloid también está conectado. Si $k=1$, $S^0=\{1,-1\}$ tiene dos componentes conectados, por lo que el hyperboloid tiene dos hojas.
Es decir, incluso en dimensiones superiores, hyperboloid se tienen dos hojas (si sólo tiene un autovalor positivo) o una hoja (si es que tiene múltiples positivo autovalores). Sin embargo, el número de autovalores positivos determinará su topología; un hyperboloid con $3$ positiva y $1$ negativo autovalores es sin duda una forma diferente, desde una con $2$ positiva y $2$ autovalores negativos, incluso a pesar de que ambos de ellos están conectados!
