Dejemos que $X$ sea un espacio pulido equipado con la sigma-álgebra de Borel y una medida de probabilidad $\mu$ . ¿Cómo se puede demostrar que el conjunto de todas las funciones medibles por el borel $f:X\rightarrow R $ ( $R$ siendo los números reales), donde se identifican dos funciones a.e. iguales, dotadas de la topología de convegencia en medida es separable?
Respuestas
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Grzenio
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Aquí hay un esbozo de argumento, y debería ser fácil completar los detalles:
- Tenga en cuenta que $L_0(X)$ es un espacio métrico, por ejemplo, con respecto a la métrica $\displaystyle d(f,g) = \int \frac{|f-g|}{1+|f-g|}$ .
-
Elija una base contable $\{A_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ para la topología en $X$ .
- Todo conjunto abierto es igual a la unión de elementos en $\{A_n\}$ .
- Para todo conjunto medible $E$ hay un $G_\delta$ -Ajustar $G$ tal que $\mu(E \triangle G) = 0$ Es decir $[E] = [G]$ en $L_{0}(X)$ .
- Demuestre que una función medible no negativa $f$ es un límite monótono puntual de funciones simples.
Sugerencia: Poner $B_{k,n} = \{x\in X : 2^{-n} k \leq f(x) \lt 2^{-n}(k+1)\}$ y considerar $f_n = 2^{-n} \sum\limits_{k=0}^{2^{2n}}k \cdot[B_{k,n}]$ . - Dividir una función general medible en partes positivas y negativas.
Utilice estas observaciones para construir un conjunto denso contable de $L_{0}(X)$ .
Para completar la información y las propiedades adicionales de $L_0(X)$ Recomiendo a Driver's notas sobre la probabilidad Sección 12, especialmente el teorema 12.8 de la página 179. (Gracias a Nate Eldredge, de quien me enteré de estas notas).
Editar: A la vista de la respuesta de Byron, obsérvese que las notas de Driver contienen varias formas del teorema de la clase funcional monótona en la parte II, sección 8, en las páginas 111 y siguientes. Por supuesto, el punto principal de nuestras dos respuestas es que existe un conjunto generador y separador contable para el $\sigma$ -Álgebra. La suposición de que $X$ ser polaco asegura que.
goric
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Una alternativa es utilizar el Teorema de la clase funcional monótona . Sea $\cal A$ sea una colección contable de conjuntos que genera ${\cal B}(X)$ , y poner $${\cal K}=\{1_A: A\mbox{ is a finite intersection of }{\cal A}\mbox{ sets }\}.$$
Dejemos que ${\cal K}^\prime$ sea el (¡contable!) $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial generado por $\cal K$ y configure $${\cal M}=\{h: k^\prime_n\to h \mbox{ in probability for some }k^\prime_n\in{\cal K}^\prime\}.$$
Entonces $\cal K$ y $\cal M$ satisfacen las condiciones del TCPMF, y por tanto $\cal M$ incluye todos los límites ${\cal B}(X)$ -funciones medibles. Un argumento de truncamiento muestra ahora que cualquier ${\cal B}(X)$ -función medible puede ser aproximada en probabilidad por una secuencia en ${\cal K}^\prime$ .
