El Lema afirmó en Herstein dado por $[a] = Ha$ le parece muy poco intuitivo para mí. ¿Cómo se creo con el fin de que esta cosa tiene sentido para mí?
LEMA 2.4.4 Para todos los $a$$G$ , $$Ha = \{ x \in G : a \equiv x \mod H\}$$
Gracias
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Es más fácil ver esto, si empezamos con el grupo de los enteros en virtud de la adición (en esta operación $Ha$ es wriiten $H + a$). Imaginar el subgrupo de múltiplos de $3$:
$3\Bbb Z = \{\dots,-9,-6,-3,0,3,6,9,12,\dots\}$
A continuación, $3\Bbb Z + 1$ $3\Bbb Z$ "desplazado por $1$" (sólo tiene que añadir uno a cada elemento de a $3\Bbb Z$):
$3\Bbb Z + 1 = \{\dots,-8,-5,-2,1,4,7,10,13,\dots\}$, e $3\Bbb Z + 2$ funciona de la misma manera:
$3\Bbb Z + 2 = \{\dots,-7,-4,-1,2,5,8,11,14,\dots\}$.
Tenga en cuenta que $3\Bbb Z + 3$ es sólo $3\Bbb Z$ nuevo, ya que $3\Bbb Z$ tiene "lagunas" de $3$, y se extiende infinitamente negativamente y positivamente. Así que solo tenemos los $3$ cosets, que las chuletas de los enteros en $3$ piezas, los enteros de la forma $3k,3k+1$ o $3k+2$, y cada "pieza" de los números enteros es exactamente el mismo "tamaño".
Así que, ahora echemos un vistazo a algunos finito grupo. Supongamos que tenemos un subgrupo $H = \{e,h_1,\dots,h_n\}$. Para obtener $Ha$ "multiplicar todo por $a$ (a la derecha)":
$Ha = \{a,h_1a,\dots,h_na\}$.
Podemos hacer esto para CUALQUIER $a \in G$, por lo que es natural preguntarse: ¿tenemos $Ha = Hb$?
Si es así, entonces para cualquier $h_ka \in Ha$, debe ser igual a algunos $h_mb \in Hb$. Esto significa:
$h_ka = h_mb \implies h_k = h_mba^{-1} \implies h_m^{-1}h_k = ba^{-1}$.
Así que si $Ha = Hb$,$ba^{-1} \in H$. Así que eso es lo que llamamos un "necesario" condición de $Ha$ a la igualdad de $Hb$. Cuando se detecta una condición necesaria, matemáticos como para preguntar si es "suficiente". Así que empezamos con el OTRO supuesto:
$ba^{-1} \in H$. Lo que se nos dice esto acerca de $Ha$$Hb$? Bueno, si $ba^{-1} = h \in H$,$ha = b$.
Nota: se puede re-escribir $h_k \in H$: $h_kh^{-1}h$. Así:
$Ha = \{a,h_1a,\dots,h_na\} = \{h^{-1}ha, h_1h^{-1}ha,\dots,h_nh^{-1}ha\}$
$= \{h^{-1}b, h_1h^{-1}b,\dots,h_nh^{-1}b\}$
Lo que nos gustaría mostrar ahora, es que la asignación de $h_k \mapsto h_kh^{-1}$ ($H \to H$) es bijective.
Así que supongamos $h_kh^{-1} = h_mh^{-1}$. Multiplicando ambos lados, a la derecha por $h$, da $h_k = h_m$, por lo que nuestra asignación es inyectiva. En el othr mano, dados cualesquiera $h_j \in H$, vemos que: $h_jh \in H$, y la asignación de toma:
$h_jh \mapsto (h_jh)h^{-1} = h_j(hh^{-1}) = h_j$, por lo que el mapa de $h_k \mapsto h_kh^{-1}$ es bijective.
ESTO nos indica que el conjunto de $\{h^{-1}b, h_1h^{-1}b,\dots,h_nh^{-1}b\} = Hb$ desde $h_kh^{-1}$ corre a través de TODOS los elementos de a $H$, al igual que $h_k$.
En otras palabras $Ha = Hb$ si, y sólo si, $ba^{-1} \in H$ (desde $H$ es un subgrupo, esto también significa $(ba^{-1})^{-1} = ab^{-1} \in H$, así).
Así que ahora podemos definir una relación: $a \sim_H b$ significa: $Ha = Hb$. Como vimos anteriormente, esto significa que $ba^{-1}$ (e $ab^{-1}$) en la $H$. No es inmediatamente evidente que esta es una relación de equivalencia. Tenemos que probarlo.
$\sim_H$ es reflexiva: esto indica que el $Ha = Ha$, o lo que es equivalente, que $aa^{-1} = e \in H$. Esto es obvio, ya $H$ es un subgrupo, y los subgrupos de contener la identidad.
$\sim_H$ es simétrica: esto dice si $Ha = Hb$,$Hb = Ha$. Así que parece claro. Alternativamente, si $ba^{-1} \in H$, entonces a partir de la $H$ es un subgrupo, $(ba^{-1})^{-1} = ab^{-1} \in H$, que es: $a\sim_H b \iff b \sim_H a$.
$\sim_H$ es transitiva: esto dice si $Ha = Hb$, e $hb = Hc$,$Ha = Hc$. De nuevo, esto parece sencillo. El uso de nuestra "otra definición" debemos demostrar que si:
$ba^{-1}$ $cb^{-1}$ $H$ , por lo que es $ca^{-1}$, Pero $H$ es un subgrupo, y así es cerrado bajo la multiplicación, así:
$(cb^{-1})(ba^{-1}) = c(b^{-1}b)a^{-1} = ca^{-1} \in H$.
Esto nos dice $\sim_H$ es un auténtico relación de equivalencia. Debería estar claro ahora que si $b \in [a]_{\sim_H}$,$Hb = Ha$, lo que significa, en particular, $b = eb \in Ha$. Por otro lado, si $b \in Ha$, por lo que el $b = ha$ algunos $h \in H$,$ba^{-1} = h \in H$, por lo que el $b \in [a]_{\sim_H}$.
En resumen, la clase de equivalencia de a $a$ (en virtud de la relación de equivalencia $\sim_H$), $[a]$ es, PRECISAMENTE, el (derecho) coset, $Ha$.
Franz
Puntos
21
El coset de un grupo que me gusta pensar en él como el conjunto H multiplicado por el elemento si su grupo es normal que se Ha = aH, a continuación, la multiplicación por una voluntad de hacer que los dos conjuntos iguales.
Voy a tratar de explicar toda la historia que tenemos en normal $Z_n$ tenemos las siguientes un $\equiv$ b (mod n) si a - b = n q1*
podríamos mirar esto desde otra perspectiva podríamos lugar de buscar como números podríamos mirar esto en términos de conjuntos que se le hubiera
un $\equiv$ b (mod Z_n) iff $a*b^{-1} \in Z_n$
podemos demostrar que esta relación da una relación de equivalencia y, por tanto, la congruencia de la clase de las particiones de tu grupo G y las clases se dan de la siguiente manera
{b $\in$ G | b $\equiv$ a (mod K)} = {b $\in$ G | $b*a^-1$ = k, tal que k $\in K$} = {ka | k $\in K$}. Por lo que la congruencia de la clase de un módulo de K es nuestro derecho coset.
Rogelio Molina
Puntos
2242
Parece que la primera $[a]$ es la clase de equivalencia formada por todos los elementos equivalentes a $a$ por la relación $a\sim b$ cuando hay un $h \in H$, de modo que $a=hb$. Mientras que $Ha$ es el conjunto formado por todos los productos de $h \in H$ con una. Estos son los mismos porque si $a = hb$ $b = h^{-1}a$ $h^{-1}\in H$ fib $h \in H$, por lo que la colección de todos los elementos de la $b$ es el mismo que el de todos los productos en $Ha$. Intuitivamente, uno puede pensar de un coset como algún tipo de órbita formado por la acción de $H$ en un elemento $a \in G$, por ejemplo si $a$ es un elemento de $H$, entonces la órbita es $H$ sí, para $H$ es cerrado bajo la multiplicación (por ser un subgrupo).
