Doble Sigma combinaciones: $\sum_{j=0}^{11}\sum_{i=j}^{11}\binom ij$

Question

Encontrar la suma. $$\sum_{j=0}^{11}\sum_{i=j}^{11}{i \choose j}.$$

Estoy recibiendo la respuesta $4095$, aunque la respuesta es dada como $4092$.

Answer 1

Digamos que usted quiere elegir un no-vacío es subconjunto de a $\{0,1,2,\ldots,11\}$, lo que ha $12$ de los miembros.

Desde el subconjunto a ser elegido no está vacío, tiene un miembro más grande. Deje $j$ el número de miembros de otros que el miembro más grande. No puede ser $11$ otros miembros o $0$ a otros miembros, o cualquier otra cosa. Llamar al miembro más grande $i$, y observar que $i$ debe ser de al menos $j$, ya que puede ser igual a $j$ si, y sólo si, el $j$ no miembros más grandes se $0,1,2,\ldots,j-1.$ El miembro más grande está en el conjunto $\{j,j+1,j+2,\ldots,11\}.$, con Lo que el número total de posibilidades es $$ \sum_{j=0}^{11} \sum_{i=j}^{11} \Big( \text{número de formas de elegir los $j$ de los miembros de $\{0,1,2,\ldots,i-1\}$ } \Big). $$ $$ = \sum_{j=0}^{11} \sum_{i=j}^{11} \binom i j. $$

Pero el número total de no vacía de subconjuntos de a $\{0,1,2,\ldots,11\}$ $2^{12}-1 = 4095.$

Answer 2

Su respuesta es correcta, ya que \begin{align*} \sum_{j=0}^{11}\sum_{i=j}^{11}\binom{i}{j}&=\sum_{0\leq j\leq i\leq 11}\binom{i}{j}\\ &=\sum_{i=0}^{11}\sum_{j=0}^i\binom{i}{j}\\ &=\sum_{i=0}^{11}2^i\\ &=\frac{2^{12}-1}{2-1}\\ &=4095 \end{align*}