Serie infinita y la OMI

Question

Me han pegado en este problema, como mis planteamientos no me llevó al resultado correcto. El problema es el siguiente:

Probar que si $|x| <1$, $$\frac{x}{(1-x)^2} + \frac{x^2}{(1+x^2)^2} + \frac{x^3}{(1-x^3)^2}\cdots = \frac{x}{1-x} + \frac{2x^2}{1+x^2} +\frac{3x^3}{1-x^3}\cdots$ $

He intentado encontrar el término generalizado de las dos secuencias en ambos lados de la igualdad, pero no podía ir en el camino correcto. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Para $|x|<1$, el LHS es \begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{(-x)^k}{(1+(-x)^k)^2} &=-\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\sum_{n=1}^{\infty}n(-(-x)^k)^n\\ &=-\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^nn\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k((-x)^n)^k\\ &=-\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^nn\sum_{k=1}^{\infty}(-(-x)^n)^k\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^n}{1+(-x)^n} \end{align*} que es la RHS. En el primer paso y en el último paso hemos utilizado las siguientes identidades para $|z|<1$: $$\frac{z}{(1+z)^2}=-\sum_{n=1}^{\infty}n (a-z)^n \quad\mbox{y}\quad -\sum_{k=1}^{\infty}(-z)^k=\frac{z}{1+z}.$$

Tenga en cuenta que los coeficientes de este poder es la serie de las OEIS secuencia A046897: el $n$ término es la suma de los divisores de a $n$ que no son divisibles por 4.