Si $n > 1$ y todos $n$ números enteros positivos $a, a + k, \cdots , a+ (n - 1)k$ son primos Impares, mostrar cada primo $<n \mid k$ .

Question

Antecedentes: Esto es de la 5ª edición de Rosen, $3.2.15$ Teoría de los números. Esta es una prueba importante porque $3$ los siguientes problemas requieren que sea correcto.

Si $i=0$ y $j=p$ entonces esta prueba es errónea y $p\mid (i-j)$ y $p$ no puede dividir $k$ . ¿Se puede modificar esta prueba para que sea correcta o no la entiendo?

Answer 1

Supongamos que $p\nmid k$ para algún primo $p<n.$ Entonces $kx\equiv-a\pmod p$ para algún número entero $0\leqslant x<p$ así que $a+kx\equiv0\pmod p$ y como cada uno de los números $a+ik,$ avec $0\leqslant i<n,$ es un primo, entonces $a+kx=p.$ Ahora observe que para cada $1\leqslant i<n$ tenemos $\gcd(a,i)=1$ ya que, de lo contrario, el número $a+ik=\gcd(a,i)\left(\frac{a}{\gcd(a,i)}+\frac{i}{\gcd(a,i)}k\right)$ no sería un primo. Por lo tanto, $a\geqslant n.$ Por lo tanto, tenemos $n\leqslant a\leqslant a+kx=p<n,$ que es una contradicción. Por lo tanto, el primorial $(n-1)\#$ divide $k.$

Answer 2

Si $i=0$ entonces $p$ tendría que ser igual a $-j$ . Esto sería una contradicción ya que $i, j, p > 0$ . WLOG, podemos suponer que $i-j>0$ .

Además, como $i \le p$ y $j \le p$ entonces la afirmación de que $i-j < p$ se mantiene, y la prueba es verdadera. ¿Ayuda eso?