Integrar las ecuaciones geodésicas para calcular la métrica inducida intrínseca

Question

En $\mathbb{R}^3$ con coordenadas $x,y,z$ consideremos la métrica de Riemann $g=\displaystyle{\frac{dx^2+dy^2+dz^2}{x^2+y^2}}$ definido en $X:=\mathbb{R}^3\setminus\{(0,0,z)\}$ .

Dado cualquier punto $p_1\in X$ y $p_2$ cualquier punto en una vecindad suficientemente pequeña de $p_1$ Quiero calcular la distancia $d(p_1,p_2)$ con respecto a la métrica $d$ que es la métrica intrínseca inducida por $g$ .

Por ejemplo $p_1=(1,1,1)$ y $p_2=(3/2,-3/2,2)$ cómo calcular $d(p_1,p_2)?$

La única forma que he encontrado para calcular $d(p_1,p_2)$ es calcular la geodésica $\gamma$ de $p_1$ a $p_2$ y luego calcular su longitud. He calculado las ecuaciones geodésicas de $g$ ( $\gamma_1$ es el componente de $\gamma$ en la coordenada $x$ etc.):

$$\ddot\gamma_1=\displaystyle{\frac{2y\dot\gamma_1\dot\gamma_2+x(\dot\gamma_1^2-\dot\gamma_2^2-\dot\gamma_3^2)}{x^2+y^2}}$$

$$\ddot\gamma_2=\displaystyle{\frac{2x\dot\gamma_1\dot\gamma_2-y(\dot\gamma_1^2-\dot\gamma_2^2+\dot\gamma_3^2)}{x^2+y^2}}$$

$$\ddot\gamma_3=\displaystyle{\frac{2(x\dot\gamma_1+y\dot\gamma_2)\dot\gamma_3}{x^2+y^2}}$$

Pero no sé cómo integrar estas ecuaciones diferenciales para obtener la ecuación de la geodésica de $p_1$ a $p_2$ y luego calcular su longitud.

Answer 1

Tenga en cuenta que su métrica sólo depende de $x^2 + y^2$ por lo que tiene sentido explotar esta simetría realizando un cambio de coordenadas a coordenadas cilíndricas:

$$ x = \rho \cos \theta, y = \rho \sin \theta, z = z. $$

En esas coordenadas, la métrica tiene la forma más simple

$$ g = \frac{1}{\rho^2} (d\rho^2 + dz^2) + d\theta^2. $$

Trabajar con la orden $(\rho, z, \theta)$ para las coordenadas y suponiendo que no he cometido un error de cálculo, las ecuaciones geodésicas para $\gamma = (\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)$ (donde $\gamma_1$ corresponde a $\rho$ , $\gamma_2$ corresponde a $z$ , etc.) adoptan la forma

$$ \ddot{\gamma}_1 - \frac{1}{\gamma_1} \left( \dot{\gamma}_1^2 - \dot{\gamma}_2^2 \right) = 0, \\ \ddot{\gamma}_2 - \frac{2}{\gamma_1} \left( \dot{\gamma}_1 \dot{\gamma}_2 \right) = 0, \\ \ddot{\gamma}_3 = 0. $$

La ecuación para $\gamma_3$ se puede resolver directamente y la segunda ecuación revela la relación $\dot{\gamma_2} = A \gamma_1^2$ que puede utilizarse para resolver completamente las ecuaciones geodésicas.

Answer 2

Seguiremos el comentario de Ted Shifrin : Considere $\frac{dr^2}{r^2} +d\theta^2$ Si $p_i:=(r_i,\theta_i)$ está conectado por $c=(r,\theta )(t)$ entonces $$ {\rm length}\ c = \int_0^1 \sqrt{ \frac{|r'|^2}{r^2} +|\theta'|^2}\ dt $$

Si $r_1=r_2$ entonces $c(t)=(r_1,\theta_1+t(\theta_2-\theta_1))$ es una geodésica minimizadora

Si $\theta_1=\theta_2$ entonces $c(t)=(r_1+t(r_2-r_1),\theta_1)$ para que $$ r_1\leq r_2,\ {\rm length}\ c= \ln\ \frac{r_2}{r_1} =d(p_1,p_2) $$

Por lo tanto, tenga en cuenta que $\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}$ es un cilindro plano $(C=\mathbb{R}\times S^1(1),dx^2+dy^2)$ Entonces $X$ es isométrica con respecto a $$( C\times \mathbb{R}, dx^2+dy^2+e^{2x} dz^2 )$$