Cada operador lineal de tener una mínima polinomio?

Question

Yo sé que un operador lineal $T$ definido en un finito-dimensional espacio vectorial tiene una mínima polinomio dado que, por Caley-Hamilton, $g(T)=0$ donde $g$ es el polinomio característico. Existe un operador lineal definido en un infinito-dimensional espacio vectorial que no tiene un mínimo de polinomio?

Answer 1

Yo diría que la mayoría de los lineales de los operadores no tienen un mínimo polinomio. Tomemos, por ejemplo, el espacio de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ de todas las secuencias y definir $$T((u_n)_{n\ge 0}) = (n u_n)_{n\ge 0}$$ Cada entero es un autovalor de a $T$, por lo tanto no hay un mínimo de polinomio.

Otro ejemplo sencillo es el operador de derivación $D(P)= P^\prime$ sobre el espacio $\mathbb{R}[X]$ de todos los polinomios. Si hubo un polinomio mínimo, todos los polinomios sería soluciones de la misma ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes.

Answer 2

Deje $X$ ser un complejo espacio de Banach y deje $T:X \to X$ un delimitada operador lineal. Deje $p$ ser un polinomio. El mapeo espectral teorema dice:

$p(\sigma(T))= \sigma(p(T))$.

($\sigma(*)=$ espectro)

Si suponemos que $p(T)=0$, entonces se sigue que $\sigma(T)$ se compone de los ceros de $p$, por lo tanto $\sigma(T)$ es finito.

Consecuencia: si $\sigma(T)$ no es finito, entonces no hay ningún polinomio $P$ tal que $p(T)=0$.

Un Ejemplo: $X=l^2$, $T(x_1,x_2,....)=(0,x_1,x_2,...)$. Tenemos $\sigma(T)=\{ z \in \mathbb C: |z| \le 1\}$.

Answer 3

Usted no necesita nada complicado para mostrar que en el infinito espacio de dimensiones mínimas de polinomios no existen en general. Tomar la más simple infinito espacio tridimensional $K[X]$, y consideran que el operador lineal $\phi$ de la multiplicación por cualquier polinomio constante, decir $X$ a mantenerlo simple como sea posible. Es fácil ver que $P[\phi]$ es la multiplicación por $P[X]=P$ cualquier $P\in K[X]$, por lo que este es el operador cero sólo si $P=0$.

(El caso más general de un no-constante polinomio $Q$ en el lugar de $X$ requiere que usted piense acerca de lo $P[Q]$ es, el resultado de la sustitución de $Q$ $X$ a $P$, y, en particular, cuando se es$~0$. Pero uno ve en la (primera) coeficiente de $X^{(\deg P)(\deg Q)}$ $P[Q]$ es distinto de cero al $P\neq 0$, por lo que no hay un mínimo de polinomio por aquí.)

Tenga en cuenta que estos operadores no tienen autovalores, en absoluto: la multiplicación de un polinomio distinto de cero $S$ por un no-constante polinomio nunca da un escalar varios de$~S$, por el grado de consideración. Así que aquí, al contrario de los ejemplos por Fred y Gribouillis, ciertamente, no es la gran abundancia de autovalores (como autovalores tienen que estar entre las raíces de cualquier aniquilando polinomio) que está obstruyendo la existencia de un mínimo de polinomio.

Answer 4

Usted puede considerar el espacio lineal $X$ de todas las complejas funciones continuas en $[0,1]$ y deje $Tf=\int_{0}^{x}f(t)dt$ ser la integración del operador, que es, sin duda lineal en $X$. El operador $T$ no tiene un mínimo de polinomio. Para ver por qué, primer aviso de que $(T-\lambda I)$ ha trivial kernel para $\lambda \ne 0$ porque $Tf=\lambda f$ fuerzas de $g(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$ a satisfacer $$ g'(x)=\frac{1}{\lambda}g(x),\;\; g(0)=0, $$ el que tiene la solución única $g(x)\equiv 0$.

Por lo tanto, si $T$ tiene un mínimo de polinomios, que sólo podría tener la forma $T^n=0$ algunos $n$, lo que obligaría a $g=T^nf$ a ser idéntica $0$ todos los $f$, y la diferenciación de $n$ veces daría $f=0$ todos los $f$.