Resolver

Question

Una pregunta nos pide resolver la ecuación diferencial

$-u''(x) = \delta(x)$

con las condiciones de contorno

$u(-2) = 0$ $u(3) = 0$ donde $\delta(x)$ es la función delta de Dirac. Pero dentro de la misma pregunta, el maestro le da la solución en dos piezas como $u = A(x+2)$$x\le0$$u = B(x-3)$$x \ge 0$. Entiendo que cuando integramos la función delta de dos veces el resultado es la función de rampa $R(x)$. Sin embargo en otros lugares en su conferencia el profesor había dado la solución general de que DE como

$u(x) = -R(x) + C + Dx$

Así que no entiendo cómo fue capaz de saltar de esta solución para las dos piezas. Son estas las dos únicas posibles, usando las condiciones de frontera dadas, o puede haber otras soluciones?

Solución completa está aquí (sección 1.2 respuesta #2)

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-085-computational-science-and-engineering-i-fall-2008/assignments/pset1.pdf

Answer 1

Este es un buen ejemplo de una pregunta con respuestas de muy diferentes niveles de sofisticación matemática! Ya que no dicen nada acerca de esto, voy a tratar de primaria.

Lo que usted llame a la función delta de Dirac (que no es una función, al menos no en el sentido de una función de$\mathbb R$$\mathbb R$) es un objeto extraño pero algo es claro:

Uno se pregunta, en que $\displaystyle\int_y^z\delta(x)\mathrm dx=0$ si $y\leqslant z<0$ o si $0<y\leqslant z$ y $\displaystyle\int_y^z\delta(x)\mathrm dx=1$$y<0<z$.

No vamos a usar otra cosa acerca de la Dirac $\delta$.

Si uno pide también que se $\displaystyle\int_y^zu''(x)\mathrm dx=u'(z)-u'(y)$ por cada $y\leqslant z$, se puede integrar una vez que su ecuación de $\color{red}{-u''=\delta}$, al pasar que exista $a$ tal que $$ u'(x)=a-[x\geqslant0], $$ donde hemos utilizado Iverson soporte de la notación. Ahora vamos a integrar esta vez de nuevo.

El uso de los hechos de que $\displaystyle\int_y^zu'(x)\mathrm dx$ debe $u(z)-u(y)$ por cada $y\leqslant z$, y el valor de $\displaystyle\int_y^z[x\geqslant0]\mathrm dx$, se obtiene que por cada negativa fija de número de $x_0$, $$ u(x)=u(x_0)+a(x-x_0)-x\cdot[x\geqslant0]. $$ Esto significa que $b=u(x_0)-ax_0$ no depende de $x_0<0$, por lo tanto, finalmente, para cada $x$$\mathbb R$, $$ \color{red}{u(x)=ax+b-x\cdot[x\geqslant0]}. $$ (Y la condición de que $u(-2)=u(3)=0$ que impone $a=3/5$$b=6/5$.)

Esta es la solución general de la ecuación de $-u''=\delta$. Tenga en cuenta que cada solución de $u$$C^\infty$$\mathbb R\setminus\{0\}$, pero sólo $C^0$ $0$ por lo tanto $u'$ $u''$ no existen en el sentido riguroso que normalmente se entiende en matemáticas. Tenga en cuenta, finalmente, que $u$ $$ u(x)=ax+b-x\cdot[x\gt0]. $$

Answer 2

Ambas describen el mismo tipo de función. La función de rampa no es nada, pero \begin{align} R(x) = \begin{cases}0 & x \leq 0 \\ x & x \geq 0\end{casos} \end{align} Si utiliza la solución general y el enchufe en las mismas condiciones de contorno, \begin{align}u(-2) &= -R(-2) + C -2D = C - 2D = 0 \\ u(3) &= -R(3) + C + 3D = -3 + C +3D = 0\end{align} con la solución $C=6/5$, $D=3/5$, y luego se divide en $x=0$ a deshacerse de la función de rampa y de obtener; \begin{align}u(x) = \begin{cases} \frac65 + \frac35 x & x \leq 0\\ -x + \frac65 + \frac35 x = \frac65 - \frac25 x &x \geq 0\end{casos}\end{align}

que es exactamente la misma expresión que se obtuvo mediante la división de la función anterior (pratically, no hay ninguna diferencia, pero a su corta cuando está escrito con la función de rampa).

Answer 3

Supongo que ahora entiendo por qué y cómo el maestro se acercó con las dos piezas. Ya que la forma de la solución de $u(x)$ es conocido (que es lineal) y debido a la presencia de la función de rampa, uno podría concluir que dos piezas pueden ser en forma de $A(x+2)$ $B(x-3)$ debido a que ambas funciones son cero en los límites izquierdo y derecho respectivamente.

Sobre el por qué: a Continuación, se puede utilizar más simple de integración y derivación:

$-\int u''(x) = \int \delta(x)$

$-[u'(x)]_L^R = 1$

$u_R'(x) - u_L'(x) = -1$

Ya sabemos las piezas, y están en bastante forma simple podemos aplicar los derivados de arriba y sustituto

$B - A = -1$

Las piezas se encuentran en $x=0$, y sabemos que debido a la función de rampa, continuando

$A(0+2) = B(0-3)$

$A = -\frac{3}{2}B$

La combinación de

$B - (-3/2 B ) = -1$

$B = -0.4$

$A = 0.6$

He copiado esto de la solución enlace que he compartido anteriormente. ¿El razonamiento de sentido? No se ve como un acceso directo de tipo, supongo.