ceros de un polinomio

Question

Dado $P(z)=z^6+6z+10$, encontrar la cantidad de raíces en cada uno de los cuadrantes

Ya he visto que $P(z)$ tiene seis diferentes raíces, y que ninguno de ellos es real o de la forma $ki$, $k\in \Bbb R$. Dado que los coeficientes de $P(z)$ son reales, entonces las raíces son 3 conjugado pares, y por lo tanto las posibilidades son limitadas a dos.

La definición de $f(z)=z^6$, $g(z)=z^6+6z+10$ y la aplicación de Rouch en
$|z|<2$, $|f(z)-g(z)|<|f(z)|$
Puedo conseguir que todas las raíces que están contenidas en el disco, pero ¿cómo hago acerca de la división en los cuatro cuadrantes? A partir de lo que sé acerca de este polinomio, la búsqueda de ceros en un cuadrante es suficiente para determinar que el resto, pero estoy atascado tratando de aplicar rouch a un cuarto de círculo (básicamente estoy teniendo problemas para encontrar un adecuado f y g)

Answer 1

En lugar de utilizar el teorema de Rouché podemos acercarnos a esta como una perturbación problema. Es decir, considerar el polinomio

$$ P_a(z) = z^6 + az + 10. $$

Uno puede mostrar que si $a \neq 0$ $P_a$ no tiene ceros en el eje imaginario y si $0 \leq a < 6 \cdot 2^{5/6}$ $P_a$ no tiene ceros en el eje real.

Si $a = 0$ $P_a$ tiene seis simple ceros, uno en cada cuadrante y uno en cada punto de $z = \pm 10^{1/6} i$.

Por el teorema de la función inversa de estos ceros son funciones analíticas de $a$ $a$ lo suficientemente pequeño. Si $z = z(a)$ es uno de estos ceros, a continuación,

$$ z^6 + az + 10 = 0 $$

y, diferenciando con respecto a $a$,

$$ 6z^5 z' + z + az' = 0, $$

así que

$$ z' = - \frac{z}{a + 6z^5}. $$

Si tenemos en cuenta el cero con $z(0) = 10^{1/6} i$

$$ z'(0) = - \frac{1}{6 \cdot 10^{2/3}}. $$

En consecuencia, el cero de $P_a$ se encuentra en $z = 10^{1/6} i$ al $a = 0$ se mueve en la mitad izquierda del plano-como $a$ aumenta pasado de cero. Hemos comentado anteriormente que el $P_a$ no tiene ningún puramente imaginario ceros si $a \neq 0$, por lo que este cero debe estar en la mitad izquierda del plano-para todos los $a > 0$.

Dado que los coeficientes del polinomio son reales, lo mismo es cierto para el cero se encuentra en $z = -10^{1/6} i$ al $a = 0$.

Cada uno de los ceros de partida en los cuatro cuadrantes al $a = 0$ debe permanecer en su cuadrante para todos los $0 \leq a < 6 \cdot 2^{5/6}$, y una vez que los ceros en el eje imaginario caer en los cuadrantes en la mitad izquierda del plano-que debe permanecer así.

Tomando $a = 6$ (y tomando nota de que $6 < 6\cdot 2^{5/6}$) llegamos a la conclusión de que $P$ tiene dos ceros en cada uno de los cuadrantes II y III y un cero en cada uno de los cuadrantes I y IV.