Un $2\times2$ desigualdad de matriz

Question

$M,N$ son matrices reales de $2\times2$ y $MN=NM$. Entonces, cualquier tres números reales $x,y,z$, tenemos

$$4xz\det(xM^2+yMN+zN^2)\geq(4xz-y^2)\big(x\det(M)-z\det(N)\big)^2 $$

algún pensamiento:

1). calcular directamente, tenemos $$ \det(A-xB)=x^2\det(B)-\big(\operatorname{Tr}(A)\operatorname{Tr}(B)-\operatorname{Tr}(AB)\big)x+\det(A) $ $ (donde $A,B$ son matrices de $2\times2$).

2). $ 4xz\cdot \det(xM^2+yMN+zN^2)= 4x^3z\cdot \det(M-mN)\det(M-nN) $

Pero no sé cómo seguir adelante. ¡Muchas gracias!

Answer 1

Tenía el OP reveló el origen de la pregunta, yo podría ser capaz de diseñar una mejor solución. Por el momento, sólo puedo resolver el problema mediante un ataque de fuerza bruta enfoque. Como $M$ $N$ viaje, sólo hay tres posibilidades:

1. Al menos una de las dos matrices es nonsingular. Al $M$ es nonsingular, la desigualdad es equivalente a $$4xz \det(xI + yNM^{-1} + z(NM^{-1})^2) \ge (4xz-y^2) (x-z \det(NM^{-1}))^2.$$ Así, podemos suponer que la $M=I$. La desigualdad se convierte entonces en $$4xz\det(xI + yN + zN^2) \ge (4xz-y^2) (x-z \det(N))^2.$$ Uno puede comprobar que la diferencia entre los dos lados es igual a $\left[(x+z\det(N))y + 2xz\operatorname{trace}(N)\right]^2$. Por tanto, la desigualdad se mantiene.
2. $M,N$ están en singular y diagonalisable. Podemos suponer que la $M=\operatorname{diag}(m,0)$ $N=\operatorname{diag}(0,n)$ o $\operatorname{diag}(n,0)$ algunos $m,n\in\mathbb R$. Al $N=\operatorname{diag}(0,n)$, la desigualdad se reduce a $4x^2z^2m^2n^2\ge0$; al $N=\operatorname{diag}(n,0)$, la desigualdad se reduce a $0\ge0$.
3. $M$ $N$ son nilpotent matrices. Podemos suponer que ambos son múltiplos escalares de $\pmatrix{0&1\\ 0&0}$. La desigualdad se reduce entonces a $0\ge0$.

Debo destacar que esta respuesta es bastante insatisfactorio, ya que no se explican cómo la desigualdad surge. Espero que alguien puede venir para arriba con una reveladora respuesta.