Esta es mi primera vez aquí, así que por favor, hágamelo saber si puedo aclarar mi pregunta en cualquier forma (incl. el formato, etiquetas, etc.). (Y espero que pueda editar más tarde!) Traté de encontrar referencias, y trató de resolver yo mismo el uso de la inducción, pero no en ambos.
Estoy tratando de simplificar una distribución que parece reducir a un orden de estadística de countably conjunto infinito de independiente $\chi^2$ variables aleatorias con diferentes grados de libertad; específicamente, ¿cuál es la distribución de la $m$th el valor más pequeño entre los independientes $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\chi^2_8,\ldots$?
Yo estaría interesado en el caso especial $m=1$: ¿cuál es la distribución de la mínima de (independiente) $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$?
Para el caso de la mínima, que fue capaz de escribir la función de distribución acumulativa (CDF) como un infinito producto, pero no se puede simplificar más. He utilizado el hecho de que la CDF de $\chi^2_{2m}$ es $$F_{2m}(x)=\gamma(m,x/2)/\Gamma(m)=\gamma(m,x/2)/(m-1)!=1-e^{-x/2}\sum_{k=0}^{m-1}x^k/(2^k k!).$$ (With $m=1$, this confirms the second comment below about equivalence with an exponential distribution with expectation 2.) The CDF of the minimum can then be written as $$F_{min}(x) = 1-(1-F_2(x))(1-F_4(x))\ldots = 1-\prod_{m=1}^\infty (1-F_{2m}(x)) $$ $$= 1- \prod_{m=1}^\infty \left(e^{-x/2}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{x^k}{2^k k!}\right).$$ The first term in the product is just $e^{-x/2}$, and the "last" term is $e^{-x/2}\sum_{k=0}^\infty x^k/(2^k k!)=1$. Pero no sé cómo (si es posible?) para simplificar a partir de allí. O tal vez un enfoque totalmente diferente, mejor.
Otra situación potencialmente útil recordatorio: $\chi^2_2$ es lo mismo que una distribución exponencial con una expectativa 2, y $\chi^2_4$ es la suma de dos exponenciales, etc.
Si alguien tiene curiosidad, estoy tratando de simplificar el Teorema 1 en este documento para el caso de la regresión en una constante ($x_i=1$ todos los $i$). (He a $\chi^2$ en lugar de $\Gamma$ distribuciones desde que se han multiplicado por $2\kappa$.)
Gracias por la ayuda!
Dave
