Cálculo de la álgebra de mentira de $SO(2,1)$

Question

Estoy tratando de calcular la álgebra de mentira del grupo $SO(2,1)$ donde se define como:

$SO(2,1)=\{X\in Mat_3(\mathbb{R})|X^t\eta X=\eta, \det(X)=1\}$ $\eta$ Dónde está la matriz se define como: $$\left ( \begin{array}{ccc} 1 &0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right )$ $

¿Pero no estoy muy seguro cómo proceder, sé que necesito tomar una curva en $SO(2,1)$ que pasa a través de la identidad en 0 y distinguir luego a 0 pero no estoy seguro acerca de lo que son la forma de las curvas de $SO(2,1)$?

Así que te dejo a $a(t)\in SO(2,1)$ ser una curva con $a(0)=1$ para que:

$a'(0)^t\eta+\eta a'(0)=\eta$

Answer 1

Podemos identificar la Mentira de álgebra $\mathfrak{so}(2, 1)$ con el espacio de la tangente $T_1 SO(2, 1)$ $SO(2, 1)$a la identidad de $1$. Como se indicó en la pregunta, para cualquier $A \in \mathfrak{so}(2, 1)$, se puede elegir una curva de $a: J \to SO(2, 1)$ tal que $a'(0) = A$. (Veremos más adelante que la existencia de tales curvas es todo lo que necesitamos, es decir, no necesitamos escribir curvas de forma explícita.) Entonces, la caracterización de la ecuación de $A$ da $$a(t)^T \eta a(t) = \eta,$$ y diferenciando con respecto a $t$ da $$a'(t)^T \eta a(t) + a(t)^T \eta a'(t) = 0$$ (tenga en cuenta que el r.h.s. es $0$, no $\eta$). La evaluación en $t = 0$ da $$\phantom{(\ast)} \qquad A^T \eta + \eta A = 0. \qquad (\ast)$$ (Por cierto, hasta este punto no hemos utilizado el formulario de $\eta$ todavía, así que esta caracterización tiene, así como para cualquier bilineal no degenerada forma de $\eta$ en cualquier dimensión finita.)

Ahora podemos escribir la Mentira de álgebra explícitamente simplemente trabajando en la (lineal) condiciones determinadas por la anterior caracterización. Esto es sólo una cuestión de la escritura de $(\ast)$ en componentes, pero observe que el formulario de $\eta$ sugiere un natural de bloquear la descomposición de la Mentira de álgebra. (Aquí esto no ahorra mucho esfuerzo, pero esta técnica es muy útil para calcular explícitamente álgebras de Lie $\mathfrak{so}(\eta)$ para formas bilineales $\eta$ en el de mayores dimensiones espacios vectoriales.) Descomponer un elemento general $A \in \mathfrak{so}(2, 1)$ $$A = \begin{pmatrix} W & x \\ y^T & z \end{pmatrix},$$ donde $W \in M(2, \mathbb{R})$, $x, y \in \mathbb{R}^2$, $z \in \mathbb{R}$. En este bloque de descomposición, $\eta = \begin{pmatrix} \mathbb{I}_2 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$ y $(\ast)$ se convierte en $$\begin{pmatrix} W^T & y \\ x^T & z\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbb{I}_2 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \mathbb{I}_2 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} W & x \\ y^T & z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}.$$

Escrito por separado la ecuación para cada bloque impone, precisamente, las condiciones $$W^T = -W, \qquad y = x, \qquad z = 0,$$ así, \begin{align} \mathfrak{so}(2, 1) &= \left\{ \begin{pmatrix} W & x \\ x^T & 0\end{pmatrix} : W^T = -W \right\} \\ &= \left\{ \begin{pmatrix} 0 & -w & x_1 \\ w & 0 & x_2 \\ x_1 & x_2 & 0 \end{pmatrix} \right\} \textrm{.} \end{align} (Por supuesto, la condición en $W$ es sólo eso $W \in \mathfrak{so}(2, \mathbb{R})$, donde la forma bilineal en $\mathbb{R}^2$ es sólo la norma, es decir, el uno con la representación de la matriz de $\mathbb{I}_2$.)

Answer 2

No sé si lo que voy a escribir es completamente correcto, yo enfrentan a las mismas dificultades con $SU(1,1)$, y esto es lo que se me ocurrió.

En primer lugar, porque estamos trabajando con matrices esto significa que estamos incrustación $SO(2,1)$$GL_{2}(\mathbb{R})$, este es el caso de la si $SO(2,1)$ es una Mentira subgrupo de $GL_{2}(\mathbb{R})$, un teorema general (expresado en casi todos los textos introductorios en la Mentira grupos) nos asegura que cada cierre de los subgrupos de $GL_{n}(\mathbb{R})$ es una matriz de una Mentira grupo.

Supongamos que hemos demostrado que la $SO(2,1)$ es un subgrupo cerrado de $GL_{2}(\mathbb{R})$, por lo que existe una incrustación $i$$SO(2,1)$$i(SO(2,1))\subset GL_{2}(\mathbb{R})$.

Esta inclusión es tal que la función exponencial $\exp:\mathfrak{so}(2,1)\longrightarrow SO(2,1)$ $SO(2,1)$ es lo habitual en la exponencial de una matriz en la $i(SO(2,1))\subset GL_{2}(\mathbb{R})$ (esto puede ser probado).

De esto se sigue que la Mentira de álgebra $i(\mathfrak{so}(2,1))$ $i(SO(2,1))$ se caracteriza por la condición:

$$ R: exp(tA)\i(ASÍ(2,1))\;\;\;\forall t $$ por lo tanto, a partir de la definición de la condición de $SO(2,1)$ obtenemos:

$$ (exp(tA))^{T}\eta \exp(tA)=\eta $$

Entonces:

$$ \frac{d (exp(tA))^{T}\eta \exp(tA)}{dt}\left|_{t=0}\right.=\frac{d\eta}{dt}\left|_{t=0}\right. $$

Lo que significa:

$$ A^{T}\eta + A\eta=0 $$

Por otra parte, podemos utilizar las propiedades de la exponencial $\exp$ de una matriz:

$$ det(\exp(A))=\exp(Tr(A)) $$ con el fin de obtener:

$$ Tr(A)=0 $$

Así la Mentira álgebra de $i(SO(2,1))$ es el conjunto de matrices tales que:

$$ Tr(Un)=0 \;\;\;\mbox{ y } \;\;\; A^{T}\eta + A\eta=0 $$

Si desea usar las curvas de $SO(2,1)$, usted tiene que encontrar un sistema de coordenadas en $SO(2,1)$, con el fin de escribir explícitamente la curva de $a(t)$ y calcular sus vectores tangente a la identidad.