La terminología en la categoría de teoría

Question

Mucha de la terminología de la categoría de la teoría obviamente tiene sus antecedentes en el análisis: límites, la integridad, la adjunctions continua (functors), al nombre pero a algunos. Sin embargo, el análisis y la categoría de teoría parece estar en polos opuestos del espectro.

Hay algo profundamente aquí, o es un caso de "tiene alas, así que digamos que es un pato"?

Esto fue en parte inspirado en el top-rated de la respuesta a la pregunta ¿Qué es un espacio métrico? y por el (un poco insatisfactorio respuestas a la pregunta Puede adjunto transformaciones lineales ser, naturalmente, se dio cuenta de como adjunto functors?. En particular, en el primer caso - de la categoría de vista de la métrica espacios - parece que hay un evidente camino entre los dos mundos, hacer las terminologías corresponden allí?

Answer 1

Los nombres en la categoría de teoría nacen muchas veces cuando alguien se da cuenta de que un concepto en un tema en particular puede ser generalizada en una manera categórica. El general-concepto definido es nombrado después de la original estrechamente definidas.

El caso de la métrica espacios proporciona un poco notorio ejemplo. Como se discutió en la que otra pregunta, métrica espacios puede ser visto como un ejemplo de la enriquecido categorías. Así que, dado cualquier concepto de espacio métrico teoría, puede intentar generalizar con el contexto enriquecido categorías. Esto sucedió con la propiedad de la integridad de la métrica de los espacios, de los que uno podría llamar de Cauchy-integridad ya que se trata de secuencias de Cauchy. Este concepto resulta generalizar muy suavemente para enriquecido categorías, y para ser una útil e importante propiedad allí.

Muchas personas llaman a la propiedad "de Cauchy-integridad" en el contexto general de la enriquecido categorías. Pero una minoría significativa de acuerdo con esta elección, la sensación de que el estiramiento de la terminología demasiado lejos. Por ejemplo, cuando se aplica a la ordinaria (Conjuntoenriquecido) categorías, la propiedad simplemente dice que cada idempotente de morfismos en la categoría se divide. Este no "siente" como la integridad de la condición en espacios métricos. Así que hay otros nombres en la moneda, tales como "Karoubi completa" (muy popular en la escuela francesa).

Es cierto que muchas de las piezas de categórico terminología no vienen de análisis, pero tal vez todo lo que dice es que el análisis es una antigua y venerable tema. Exacto es otro ejemplo. Se utiliza para significar varias cosas ligeramente diferentes en la categoría de teoría, de manera confusa, pero el uso más común es que un functor es "izquierda exacta" si se preserva límites finitos. Ahora que viene de álgebra homológica, donde se habla acerca de la exacta secuencias; un functor entre abelian categorías conserva izquierda exacta de las secuencias de iff preserva límites finitos. Y que, a su vez, creo, viene de la terminología de las ecuaciones diferenciales.

Answer 2

Como para el límite de ejemplo, se basa en el análisis de la topología.

Una topología sobre un conjunto X es un sistema de subconjuntos, parcialmente ordenado por la inclusión, que han arbitraria une y finito cumple (o, posiblemente, de la otra manera dependiendo de si usted está buscando para abrir o conjuntos cerrados), con X y 0 miembros del sistema.

Este orden parcial que nos pone en una categoría de la estructura, que consiste en abierto (cerrado?) los conjuntos. Los límites de estas resultan ser interpretable como límites en el sentido clásico; y colimits son el doble concepto como de costumbre.