$\sin(x^2)$ Puede solución del ecuación diff $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ en algún intervalo que contiene $0$

Question

¿Si $p(x)$ y $q(x)$ son funciones continuas para cualquier $x$, $y(x)=\sin(x^2)$ no puede ser solución del ecuación diff $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ en un intervalo $I=[a,b] $con $0$? Creo que no es tan simple como sustituir el $\sin(x^2)$ en la ecuación y análisis de la expresión obtenida.

Answer 1

Tenemos $y = \sin (x^2)$, $y' = 2x \cos (x^2)$ y $y'' = 2 \cos(x^2) - 4x^2 \sin (x^2)$. Sustituyendo,

$$ 2 \cos(x^2) - 4x^2 \sin (x^2) + p(x) 2x \cos (x^2) + q(x) \sin (x^2) = 0$$

Tras la solución de A.G. en los comentarios, $x=0$en la ecuación del ajuste % da $2=0$ si asumimos $p(x)$ y $q(x)$ ser limitado en un barrio de $0$. Por lo tanto, $p(x)$ y $q(x)$ no pueden ser continuadas.

Answer 2

También se puede utilizar el argumento estándar acerca de la existencia y unicidad del problema de Cauchy como Picard–Lindelöf teorema. Por este teorema, una ecuación diferencial lineal continuo con coeficientes tiene una única solución con condición inicial en un punto (ver, por ejemplo, aquí). Asumiendo $y(x)=\sin(x^2)$ a ser una solución, se resuelve el problema de Cauchy con $y(0)=y'(0)=0$ junto con la solución trivial $y=0$. Esto contradice la singularidad.