¿Es Murasugi ' conjetura de s sigue abierta?

Question

Normalizar el polinomio de Alexander (en $t$), de manera que los exponentes positivos y negativos están en equilibrio. Por ejemplo, en el Conway normalización, hacer la sustitución $z = t^{1/2} - t^{-1/2}$. El trébol da $t^{-1} - 1 + t$.

Conjetura: Supongamos que $K$ es una alternancia de nudo. A continuación, la secuencia de los valores absolutos de los coeficientes es unimodal. Específicamente, si $\Delta_K(t) = \sum_i a_i t^i$,$|a_0| \ge |a_1| \ge |a_2| \ge \cdots$.

Esta es una conjetura debido a Murasugi, creo. Dónde está escrito? Esto ha sido demostrado o refutado?

Answer 1

Ver también este documento de Jong que reprueba el resultado de Ozsvath-Szabo combinatorially, usando generadores de Stoimenow de nudos de género canónico 2.
La pregunta interesante que está al acecho en el fondo es la caracterización de polinomios Alexander de nudos alternos.

Answer 2

¿No Hosokawa (1958, Osaka J. Matemáticas) de demostrar que el polinomio Alexander de un nudo puede ser cualquier integrante % polinomio de Laurent $p(t)$tal que $p(t^{-1}) = p(t)$ y $p(1) = \pm 1$?

Si eso es correcto, entonces según Hosokawa, $2t^{-2}+t^{-1}-7+t+2t^2$ sería el polinomio Alexander de un nudo, contradiciendo esta conjetura.

Ha sido un tiempo pero creo que construcción estos nudos muy explícitamente usando diagramas de la cinta--nudos de Rolfsen y enlaces, también libro de estudio grande de Kawauchi deben tener la construcción.

Answer 3

En realidad es una conjetura de Fox, a veces conocido como el trapezoidal conjetura: los valores absolutos de los coeficientes de $\Delta_K(t)$ son nonincreasing si K es una alternancia de nudo. Creo que la cita original es de Fox, "Algunos problemas en el nudo de la teoría".

Murasugi aparentemente demostrado la conjetura para alternando algebraicas nudos -- ver "En el polinomio de Alexander alternando algebraicas nudos", MR0802722, que no parece estar en línea-y Ozsváth y Szabó comprobó género 2 alternando los nudos en la "Heegaard Floer homología y la alternancia de los nudos," arXiv:0209149, pero todavía abierto en general.