Cómo resolver la relación recursiva integral - $I_n= \int_0 ^1(x-x^2)^ndx$

Question

Deje que $I_n= \int_0 ^1(x-x^2)^ndx$ . Demuestra que $I_n= \frac {1}{4} \cdot\frac {2n}{2n+1}I_{n-1}$ .

Esto suena como un ejercicio bastante fácil, pero no importa cuánto lo intente, no puedo poner el dedo en la llaga (intenté la integración por partes con $ \int_0 ^1x'(x-x^2)^ndx$ pero no pudo llegar muy lejos). ¿Podrías ayudarme?

Answer 1

La integración por partes de dos maneras diferentes da $$ \begin{array}{rllr} I_n &=\int_0^1x^n(1-x)^n\,\mathrm{d}x&=\hphantom{\frac{n}{n+1}}\int_0^1x^{n-1}(1-x)^{n-1}\color{red}{x(1-x)}\,\mathrm{d}x&\qquad(1)\\ &=\frac{n}{n+1}\int_0^1x^{n+1}(1-x)^{n-1}\,\mathrm{d}x&=\frac{n}{n+1}\int_0^1x^{n-1}(1-x)^{n-1}\color{red}{x^2}\,\mathrm{d}x&(2)\\ &=\frac{n}{n+1}\int_0^1x^{n-1}(1-x)^{n+1}\,\mathrm{d}x&=\frac{n}{n+1}\int_0^1x^{n-1}(1-x)^{n-1}\color{red}{(1-x)^2}\,\mathrm{d}x&(3)\\ \end{array} $$ Desde $2\color{red}{x(1-x)}+\color{red}{x^2}+\color{red}{(1-x)^2}=\color{red}{1}$ si añadimos $2(1)+\frac{n+1}{n}(2)+\frac{n+1}{n}(3)$ obtenemos $$ 2I_n+\frac{n+1}{n}I_n+\frac{n+1}{n}I_n=\int_0^1x^{n-1}(1-x)^{n-1}\color{red}{1}\,\mathrm{d}x=I_{n-1}\tag{4} $$ Por lo tanto, resolver $(4)$ para $I_n$ produce $$ I_n=\frac{n}{4n+2}I_{n-1}\tag{5} $$

Answer 2

La integral $I_n$ es función beta evaluado en $(n+1, n+1)$ :

$I_n=\int_0^1(x-x^2)^ndx = \int_0^1x^n(1-x)^ndx = B(n+1, n+1)$

Utilizando el hecho de que $B(z,w) = \frac{\Gamma(z)\Gamma(w)}{\Gamma(z+w)}$ , donde $\Gamma$ es el función gamma El resultado es el siguiente.

$I_n = B(n+1, n+1) = \frac{\Gamma(n+1)\Gamma(n+1)}{\Gamma(2n+2)} = \frac{n^2\Gamma(n)\Gamma(n)}{(2n+1)(2n)\Gamma(2n)} = \frac{1}{4}\cdot\frac{2n}{2n+1} B(n,n)$

Answer 3

Quizá no sea la forma más directa. Dejemos que $x = \sin^2(\theta)$ . Entonces tenemos $dx = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) d \theta$ . Por lo tanto, $$I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^{2n}(\theta) \cos^{2n}(\theta) 2 \sin(\theta) \cos(\theta) d \theta$$ $$I_n = \frac1{2^{2n}} \int_0^{\pi/2} \sin^{2n+1}(2 \theta) d \theta = \frac1{2^{2n+1}} \int_0^{\pi} \sin^{2n+1}(\phi) d \phi = \frac1{2^{2n}} \int_0^{\pi/2} \sin^{2n+1}(\phi) d \phi$$ Denotemos $$J_{n} = \int_0^{\pi/2} \sin^{n}(\phi) d \phi.$$ Consulte aquí para la recurrencia que implica $J_n$ . Tenemos $J_{2n+1} = \frac{2n}{2n+1} J_{2n-1}$ . Por lo tanto, $$I_n = \frac{J_{2n+1}}{2^{2n}} = \frac14 \frac{2n}{2n+1} \frac{J_{2n-1}}{2^{2n-2}} = \frac14 \frac{2n}{2n+1} I_{n-1}.$$

EDITAR : La integralidad $I_n$ es $\beta(n+1,n+1)$ donde $\beta(x,y)$ es el $\beta$ función definida como $\displaystyle \beta(x,y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt$ . $\beta(x,y)$ también tiene una representación en términos de $\Gamma$ función dada por $\displaystyle \beta(x,y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ .

Por lo tanto, $$\begin{align} I_n & = \beta(n+1,n+1) = \frac{\Gamma(n+1) \Gamma(n+1)}{\Gamma(2n+2)} = \frac{n! n!}{(2n+1)!} = \frac{n^2}{(2n+1)(2n)}\frac{(n-1)! (n-1)!}{(2n-1)!}\\ & = \frac{n}{2(2n+1)} \frac{\Gamma(n) \Gamma(n)}{\Gamma(2n)} = \frac14 \frac{2n}{2n+1} \beta(n,n) = \frac14 \frac{2n}{2n+1} I_{n-1}. \end{align}$$

(Estaba añadiendo esta parte cuando m. k. publicó la respuesta).