¿Qué hace el $L^p$ norma tienden a como $p\to 0$ ?

Question

Esto es algo en lo que estaba pensando, así que voy a publicarlo como pregunta y a poner mi propia respuesta. Espero que quien quiera comente, me corrija si me equivoco y añada sus propios conocimientos y pensamientos.

Supongamos que $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ es una función positiva y continua. La dirección $L^p$ normas de $f$ son los análogos a las potencias medias ponderadas de un grupo de números positivos $a_1, \dotsc, a_n$ . (Quizás sería más preciso decir que las expresiones $\left(\int_a^b\frac{f^p}{b-a}dx\right)^{1/p}$ son los análogos). Las potencias medias vienen dadas por $$M_p(a_1, \dotsc, a_n)=(w_1a_1^p + \dotsb + w_na_n^p)^{1/p},$$

donde $w_i$ tal que $\sum w_i =1$ son los pesos que queramos (el caso más sencillo es cuando $w_i=1/n$ para todos $i$ ). Es bien sabido (véase aquí ) que el poder significa $M_p$ tienden a la media geométrica como $p\to 0$ . ¿Qué significa $$\left( \frac{\int_a^b f(x)^p}{(b-a)}\right)^{1/p}$$

tienden a como $p\to 0$ ?

Answer 1

Supongamos que el límite existe y llamémoslo $L$ . Entonces $$\log L = \lim_{p\to 0}\frac{\log \left( \int_a^b f(x)^p dx \right)-\log (b-a)}{p},$$

que es simplemente $$\left.\frac{d}{dp}\right|_{p=0}\int_a^b f(x)^p dx=\int_a^b \log f(x) dx, \quad \text{so}\\L = \exp\left[ \int_a^b \log f(x) dx\right].$$

Esto coincide con lo que sabemos de los medios de poder, porque $\exp\left(w_1 \log a_1 + \dotsb + w_n \log a_n\right)$ es sólo la media geométrica.

Más preguntas : son los $p$ normas en orden ascendente de $p$ como son los medios de poder?

Answer 2

Dado que normalizó el espacio de medida para tener medida total $1$ , La desigualdad de Jensen implica inmediatamente la monotonicidad de $L^p$ (cuasinorma para $p<1$ ) con respecto a $p$ . Es decir, para todos $p>0$ y todos $r>1$ tenemos (utilizando la convexidad de $t\to t^r$ en $[0,\infty)$ )
$$ \left(\int_X |f|^{p}\right)^{r} \le \int_X (|f|^p)^r $$ de ahí $\|f\|_p\le \|f\|_{pr}$ .

También se puede utilizar la desigualdad de Hölder con el mismo fin.

Así, el límite $\lim_{p\to 0}\|f\|_p$ existe bajo el supuesto bastante débil de que algunos $L^p$ norma de $f$ es finito. Como ha señalado, es igual a $\exp\left(\int_X \log|f| \right)$ . La continuidad y la forma particular del espacio de medidas son irrelevantes.