Deje $f : \mathbb R \to \mathbb R$, y considere la ecuación diferencial $$ f'(t) = f(t) $$ es fácil ver que tiene las soluciones $f(t) = a\cdot \exp(t)$$a \in \mathbb R$. Ahora otra manera de escribir esto $$ \frac{df}{dt} = f $$ (aquí el argumento no está escrito ya, una abstracción paso que conduce a la siguiente notación). Ver $\frac{df}{dt}$ como una abreviación de $f'(t)$ esto no es ningún problema, pero he visto la notación $$ \frac{df}{f} = dt. $$ De repente, tenemos dos nuevas cantidades y $df/dt$ se maneja como una fracción (no sólo una mera notación para $f'$ más), sé que esto es la de Leibniz forma de pensar acerca de los diferenciales, y yo sabía que, por ejemplo, como forma abreviada de la norma de sustitución para integrales.
Sé cómo pensar en esos términos, $dt$ debe ser interpretado como $t_{i+1} - t_i$ dos pasos de tiempo o $(t + h) - t$ como los pasos de tiempo obtener más fino, o $h \to 0$, lo $dt \approx h$, de manera similar $df$ podría ser entendido como $f(t + h) - f(t)$ en el límite, por lo $df \approx f(t+h) - f(t)$ $h$ suficientemente pequeño en $t$.
Pero, ¿cómo debe $df / f = dt$ ser leído, como "la proporción de la variación en la cantidad a la cantidad total es igual al cambio en el tiempo, es decir, constantes cambios de tiempo es constante, lo que implica que si la cantidad aumenta, la tasa de cambio tiene que aumentar demasiado." Pero con la sustitución de $$ df \aprox (\exp(t + h) - \exp(t)) \mbox{ y } dt \aprox (t + h) - t $$ debemos tener $$ \frac{\exp(t + h) - \exp(t)}{\exp(t+h)} = h $$ como $\exp(t+h) - \exp(t) \approx \exp(t+h)h$ ($df = fdt$) que no es válido, porque $(\exp(t + h) - \exp(t))/\exp(t+h) = 1 - \exp(-h) \ne h$? Entonces, ¿dónde está el problema, ¿por qué esta interpretación no funciona?
