Cálculo del valor de $\pi$ independientemente utilizando integrales.

Question

Hace poco me di cuenta de esta integral:

$$\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}dx=\frac{22}7-\pi\approx0$$

Lo cual es un resultado muy interesante que nos da el valor de $\pi\approx\frac{22}7\approx3.142857142$ con 2 decimales correctos.

Tenga en cuenta que el valor real de $\pi\approx$ 3.14159265359

• Supongo que esto ocurre porque como $0<x<1$ . Así que $\displaystyle \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\ll1$ por lo que la integral debe ser aproximadamente cero.
• Integrando esto a mano: $$\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}dx=\int_0^1\left(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{x^2+1}\right)dx$$ que se puede calcular fácilmente, y el $(x^2+1)^{-1}$ término hará un $\arctan$ término que generará $\pi$ .
• Llevando esto al siguiente nivel, calculé estos que se pueden hacer a mano:

$$\int_0^1\frac{x^8(1-x)^8}{1+x^2}dx=4\pi-\frac{188684}{150115}\approx0\quad:\pi\approx\frac{188684}{4\times150115}=\frac{47171}{15015}\approx3.141591741$$

• 5 decimales correctos.

$$\int_0^1\frac{x^{12}(1-x)^{12}}{1+x^2}dx=\frac{431302721}{8580495}-16\pi\approx0\quad:\pi\approx\frac{431302721}{16\times8580495}=\frac{431302721}{137287920}\approx3.14159265433$$

• 8 decimales correctos.

• Con tal esfuerzo (probablemente usando algún software) podemos ir a estos:

$$\int_0^1\frac{x^{8n}(1-x)^{8n}}{1+x^2}dx=A(n)-B(n)\pi\tag{1}$$ $$\int_0^1\frac{x^{8n+4}(1-x)^{8n+4}}{1+x^2}dx=C(n)\pi-D(n)\tag{2}$$ donde $n={0,1,2,3,\ldots}$ y $A,B,C,D$ son funciones de n, todas ellas siempre positivas.

• Y con $n\to\infty$ probablemente alcanzaremos el valor exacto de $\pi$

Resultados:

• Este tipo de integrales $(1)$ y $(2)$ son muy cercanos a cero y ayudan a encontrar los valores de $\pi$
• El número de decimales correctos de un PA: $2,5,8,\ldots$
• El coeficiente de $\pi$ término alternativo como $(-1)^{n/4}4^n$
• Otros resultados similares y alguno de los tuyos, si los observaste.

Una pregunta real:

• ¿Alguien puede aportar más información para explicar los resultados? ¿No hay ningún razonamiento circular?

Answer 1

Su famoso integral :) Yo también he investigado sobre esto algún tiempo antes.

He encontrado esto, bastante útil : Aproximaciones integrales a con integradas no negativas integradas .

Answer 2

Desde wolframio Lo entiendo:

Backhouse (1995) utilizó la identidad $$\begin{aligned}I_{m, n} &= \int_{0}^{1}\frac{x^{m}(1 - x)^{n}}{1 + x^{2}}\,dx\\ &= 2^{-(m + n + 1)}\sqrt{\pi}\Gamma(m + 1)\Gamma(n + 1)\times{}_{3}F_{2}\left(1, \frac{m + 1}{2}, \frac{m + 2}{2};\frac{m + n + 2}{2}, \frac{m + n + 3}{2}; -1\right)\\ &= a + b\pi + c\log 2\end{aligned}$$ para números enteros positivos $m$ y $n$ y donde $a, b$ y $c$ son constantes racionales para generar una serie de fórmulas para $\pi$ . En particular, si $$2m - n \equiv 0\pmod{4}$$ entonces $c = 0$ (Lucas 2005).

Answer 3

Esta integral tiene un equivalente en serie

$$\frac{22}{7}-\pi=\sum_{k=1}^\infty \frac{240}{(4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+5)(4k+6)(4k+7)}$$

De manera más general, $$\sum_{k=m}^\infty \frac{240}{(4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+5)(4k+6)(4k+7)}=\int_0^1 \frac{x^{4m}(1-x)^4}{1+x^2}dx$$

que da aproximaciones racionales más cercanas a $\pi$ añadiendo más términos de la suma.

https://math.stackexchange.com/a/1657416/134791

Se obtiene un resultado similar cambiando el denominador a $\frac{1-x^8}{1-x^2}=1+x^2+x^4+x^6$ .

$$ \frac{2\sqrt{2}}{3} \int_0^1 \frac{x^4 (1-x)^4} {1+x^2+x^4+x^6} dx = \frac{20 \sqrt{2}}{9}-\pi$$

Otros denominadores interesantes son $1+x+x^2$ , $\frac{1-x^6}{1-x^2}$ y $\frac{1-x^{12}}{1-x^2}$ que conducen a aproximaciones que implican $\sqrt{3}$ y diferentes exponentes en el numerador.