¿Patrón en teoría del número, prueba explicación?

Question

Así que yo estaba jugando el otro día, pensando en la aplicación de la combinación de productos y sumas. Tomé la suma $$1+2+3+\dotsc+n=\frac n2(n+1)=S_n$$ and divided it by $n!$. I realized that as $n$ se acercó a infinito, el límite de la expresión tiende a cero.

No he podido encontrar ningún uso en este hecho y seguí jugando un poco con ella y, a continuación, utilizar la inversa: $n!/S_n$. Me di cuenta de que la respuesta es un número entero $W$$n=1$, % fracción$(F)$$n=2$, y el patrón: $$(1,W),\,(2,F),\,(3,W),\,(4,F),\,(5,W),\,(6,F),\,(7,W).$$ El patrón de composición de $W,\,F,\,W,\,F$. Por el tiempo que he llegado a $n=29$ me di cuenta de que $n=28$ $F$ 29 pero no lo era. Porque yo estaba trabajando con la mano el hecho de que $29$ es un factor de $S_n$ por tanto $n=28,\,29$ fue muy interesante, y es que me golpeó - para todos los $n$ cuyo valor para la expresión fue $F$, $n+1$ era una extraña prime.

Envié un correo electrónico a James Grime desde el canal de Youtube "Numberphile" después de mis maestros en la escuela, no quería ayuda, y para mi gran alegría, él me demostró que estaba en lo correcto. Sin embargo, no me acaba de seguir su explicación través de todo el camino en la demostración de esta conjetura para todos los números naturales $n$. Podría alguien por favor, ayudar y explicar su trabajo?

Hola Tomer, su observación es correcta.

Su fórmula: $\displaystyle\frac{n!}{n(n+1)/2}=\frac{2n!}{n(n+1)} = 2\,\frac{(n-1)!}{n+1}.$

Si $n+1$ es primo es mayor que cualquiera de los factores de $(n-1)!$, por lo que $2\,\dfrac{(n-1)!}{n+1}$ no será un número entero.

Si $n+1$ no es primo, entonces se puede escribir como un producto de números primos. Aquí un ejemplo; $$n+1=2\times2\times2\times2\times3\times3\times3\times5=360$$

Entonces queremos saber si $2\,\dfrac{359!}{360}$ es un número entero.

Ya que cada segundo número es par, y cada tercer número es divisible por tres, y cada quinto número es divisible por esta cómodamente cancelar.

Algo como esto sólo no cancelar si hay un primer factor de $n+1$ que hace tan a menudo que no puede ser cancelada completamente por $(n-1)!$. Eso significa que $n+1$ tiene un primer factor de $p$ que aparece $k$ tiempos donde $k>\dfrac{n-1}p$.

El mayor $k$ es al $n+1=p^k$. Eso significa que $$k=\frac{\log(n+1)}{\log(p)}.$$.

Así que si no cancela tendríamos $$\frac{\log(n+1)}{\log(p)}>\frac{n-1}p.$$

Reorganizar el que para conseguir $$\frac{\log(n+1)}{n-1}>\frac{\log(p)}p.$$ This implies $p>n+1$ which is nonsense ($p$ is a prime factor of $n+1$).

Así $$k<\dfrac{n-1}p$$ for all prime factors of $n+1$. Así que todos los factores primos de $n+1$ son cancelados por $(n-1)!$.

James

Yo perderlo en "Algo como esto sólo no cancelar..." ¿por Qué es $k>\dfrac{n-1}p$?

También, ¿cómo se llega a la conclusión de que el mayor valor de $k$?

Si alguien tiene otra explicación para el patrón que también serán bienvenidos!

Answer 1

Aquí un poco más fácil tomar la prueba:

Lo que estás preguntando es si $n!$ es divisible por $S_n=\frac12n(n+1)$. Para empezar, vamos a simplificar un poco las cosas por quitar ese molesto $\frac12$ factor: claramente, si $n!$ es divisible por $n(n+1)$, entonces es divisible por $\frac12n(n+1)$. Pero resulta que, por el contrario, demasiado — si es divisible por $\frac12n(n+1)$, también es divisible por $n(n+1)$ (en otras palabras, $\frac{n!}{S_n}$ será un número par). Podemos ver esto contando el número de " factores de $2$'$n!$: cada número $\leq n$ contribuye de uno, entonces cada múltiplo de cuatro contribuye a otro uno, a continuación, cada múltiplo de ocho contribuye a otras, etc. Así que hay al menos $\frac n2$ factores de $2$$n!$—, pero sólo puede haber acerca de la $\log n$ factores en $n$ o $n+1$ (se puede ver por qué?). Desde $\frac n2\gt \log n$ para todos pero el más pequeño de $n$, siempre habrá un factor adicional de dos en $n!$ que no se ha dividido.

Así que la cuestión se reduce a si $\dfrac{n!}{n(n+1)}$ es un número entero o no; en otras palabras, si $\dfrac{(n-1)!}{(n+1)}$ es un número entero. Ahora, si $n+1$ es primo, entonces es nunca un factor de $(n-1)$!, así, la expresión no puede ser un número entero.

Por otro lado, si $n+1$ no es primo, entonces podemos escribir $n+1=a\cdot b$ dos números de $a, b\gt 1$. Pero, a continuación, $a$ $b$ menos de o igual a $\frac n2$, por lo que en particular es menos que o igual a $n-1$. Pero esto significa que $a$ $b$ son tanto factores individuales en $(n-1)!$, por lo que debe ser divisible por ellos. Por ejemplo, supongamos $n=5$ y nos rompen $n+1=6=2\cdot 3$; entonces a partir de la $4! = 1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4$, podemos escribir $\dfrac{(n-1)!}{(n+1)}$ $=\dfrac{4!}{6}$ $=\dfrac{1\cdot\not2\cdot\not3\cdot 4}{\not2\cdot \not3}$ $=1\cdot 4$ - búsqueda de $2$ $3$ en el numerador para cancelar esos factores en el denominador.