La categoría de Campo no tiene objeto inicial

Question

¿Por qué la categoría de Campo no tiene objeto inicial?

(ver página $47$ de Teoría de la categoría por Horst Herrlich y George E. Strecker )

Answer 1

Obsérvese que en la categoría de todos los campos, dado cualquier campo $\mathbf{F}$ siempre hay un campo diferente $\mathbf{K}$ tal que no hay homomorfismos de campo desde $\mathbf{F}$ a $\mathbf{K}$ ni de $\mathbf{K}$ a $\mathbf{F}$ . Por lo tanto, no puede haber ni un objeto inicial ni un objeto terminal (porque el primero requiere mapas en cada objeto, y este último requiere mapas de cada objeto).

Y la razón de que esto ocurra es que no puede haber homomorfismos de campo entre campos de características diferentes.

Ahora, si se cambia a la categoría de $\mathbf{Field}_{p}$ , donde $p$ es un primo o $0$ y ésta es la categoría de todos los campos de característica $p$ entonces esta categoría hace tienen un objeto inicial, a saber, el campo primo de característica $p$ : $\mathbf{F}_p$ para $p\gt 0$ y $\mathbb{Q}$ para $p=0$ .