Prueba sin cálculo

Question

Demostrar que el producto de dos de los números de $(65^{1000} - 8^{2001} + 3^{177}), (79^{1212} - 9^{2399} + 2^{2001})$ $(24^{4493} - 5^{8192} + 7^{1777})$ es no negativo, sin llegar a la evaluación de los números.

P. S. he encontrado por el cálculo de que los tres números son positivos, pero que no resuelve el problema de la prueba sin cálculo.

Gracias de antemano.

Answer 1

Creo que el truco es que la pregunta sólo pide una prueba de que no existen dos números tales que su producto es no negativo. En principio, puede haber otros productos que fueron negativos.

Ahora, si al menos dos de los números son no negativos, entonces su producto es no negativo.

Si menos de dos de ellos son no-negativos, debe haber al menos dos números negativos entre ellos ...

Answer 2

Considere por ejemplo,$65^{1000} - 8^{2001} + 3^{177}$. Tenga en cuenta que$65>64=8^2$$65^{1000} > 8^{2000}$, pero sería mejor si tuviéramos $65^{1000} > 8^{2001}$ porque $65^{1000} - 8^{2001} + 3^{177}$ definitivamente sería positivo. Así que necesitamos una mejor estimación de $65^{1000}$. Aquí hay uno: $65^{1000} = (64+1)^{1000} = 64^{1000}+1000\cdot 64^{999}+\cdots > 64^{1000}+7\cdot 64 \cdot 64^{999} = 8 \cdot 64^{1000} = 8^{2001}$.

Los otros dos números son positivos, de la misma manera, pero usted necesita un argumento diferente.

Answer 3

A menos que me hizo un error en los cálculos, esto debería resolver el último.

$$24^{4493}=2^{3*4493}*3^{4493}$$

Ahora, utilizando

$$2^7 \geq 5^3 \,;\, 3^3 \geq 5^2 \,,$$

tenemos

$$2^{3*4493}*3^{4493} \geq (2^7)^{1925}(3^3)^{1497} \geq 5^{1925*3+1497*2}=5^{8769}$$

Y aquí está el otro

$$(\frac{79}{81})^{20}= (1-\frac{2}{81})^{20} \geq 1-\frac{40}{81} \,.$$

por Bernoulli

Así

$$(\frac{79}{81})^{100}\geq \frac{1}{2^5} \geq \frac{1}{79} \,.$$

Así

$$79^{101} \geq 81^{100} \,.$$

Y por lo tanto

$$79^{1212} \geq 81^{1200} $$

La positividad del segundo término es una consecuencia inmediata de este....

P. S. Edición de La última desigualdad también se sigue por esta idea:

Nos muestran que

$$24^{4493} \geq 25^{4096}$$

$$(\frac{24}{25})^{12} \geq 1-\frac{12}{25} \geq \frac{1}{2}$$

$$(\frac{24}{25})^{12*342}\geq \frac{1}{2^{342}} \geq{1}{24^{389}} \,.$$