Serie infinita, donde cada término es el cuadrado de la última

Question

Hay una forma cerrada, en términos de funciones elementales o de otro tipo, para la alimentación de la serie $x+x^2+x^4+x^8+x^{16}+...$, donde cada término es el cuadrado de la última?

Answer 1

La serie

$$\sum_{n=0}^\infty x^{\large-2^n}$$

en general no tiene una forma cerrada. Esto es sólo el de la serie donde $x \mapsto \dfrac{1}{x}$.

Al $2 \le x \le 10$, el decimal de expansión está dado por la OEIS. Al $x=2$, el número es llamado el "Kempner-Mahler número." El caso de al $x=10$ parece ser llamada la "Fredholm-Rueppel Secuencia", y tiene muchas otras propiedades interesantes.

También se ha demostrado que el número, $M$, generado por la suma de $x=2$ es trascendental por Mahler, y Caballero demostró que esto era cierto para todos los $x\ge 2$. (Resumido aquí)

La continuación de la fracción de esta serie se discute por $x \ge 3$ en J. Shallit "Simple fracciones continuas para algunos números irracionales."