He observado que algunos ingenuos ejemplos. Esferas, por ejemplo, cuando se cortan en un punto, puede ser embebido en $\mathbb{R}^n$. Y si cortamos una medida de ajuste a cero de un espacio proyectivo, puede ser incorporado en el espacio Euclidiano de la misma dimensión. Así que me pregunto si todos los colectores puede ser incrustado dentro de un mismo dimensional espacio Euclidiano cuando cortamos un conjunto de medida cero? ¿Alguien puede probar o refutar por darme algunos contraejemplos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esta pregunta fue esencialmente contestado aquí, a saber, que la corte locus tiene medida cero (ver las referencias proporcionadas en el enlace). Supongo que su colector $M$ es suave, de lo contrario, no estoy seguro de qué noción de medida cero se va a utilizar. También voy a suponer que $M$ está conectado. (Si no, aplicar este argumento para cada componente conectado.) A continuación, colocar un completo métrica de Riemann en $M$, considera la corte locus $C(p)$ de un punto $p\in M$ y el subconjunto de $U(p)=M\setminus C(p)$. El mapa exponencial $\exp_p: T_pM\a M$ restringe a un diffeomorphism $V(p)\a U(p)$, donde $V(p)\subconjunto T_pM$ es un cierto subconjunto abierto (diffeomorphic al abrir $n$-ball, donde $$ n es la dimensión de la $M$).
Uno puede pedir a una pregunta similar en el contexto de conectado $$n-dimensional topológico colectores $M$. En lugar de la eliminación de una medida de ajuste a cero, se puede quitar un cerrado ningún subconjunto denso. A continuación, en todas las dimensiones, pero 4 se desprende de los resultados en el libro de Kirby y Siebenmann que $M$ contiene un subconjunto abierto de $U$ homeomórficos a $R^n$. (Tal vez también era conocido antes de su trabajo, no estoy seguro.) No sé qué decir acerca de la dimensión 4.
Una última cosa, Sullivan demostró que cada topológico colector $M$ de dimensión $\ne 4$ admite un único Lipschitz de la estructura, es decir, un atlas donde la transición mapas son localmente Lipshitz. Esto implica que topológico $n$-colectores ($n\ne 4$) tienen una bien definida la noción de conjuntos de medida cero (muy indirecta). Sin embargo, no sé si el residual establecido en Kirby-Sibenmann se tiene medida cero en este sentido, esto va mucho más allá de mi comprensión de la obra de su trabajo y el de Sullivan.
