indicación por favor
Dejemos que $A$ sea un álgebra C*. Supongamos que existe en $A$ otra involución $x\rightarrow x^{\#}$ tal que $\|xx^{\#}\|=\|x\|^2$ para todos $x\in A$ . Demostrar que $x^{\ast}=x^{\#}$ para todos $x \in A$ .
Respuesta
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Al fin y al cabo, se puede hacer con el $C^*$ -hechos. He aquí un esquema detallado.
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $A$ es unital. Denotaré $x'$ la segunda involución.
Dejemos que $\phi$ sea una función lineal sobre $A$ . Entonces $\phi$ es positivo (preserva los elementos positivos) si y sólo si $\phi$ está acotado y $\|\phi\|=\phi(1)$ (hecho clásico).
Se deduce que los funcionales lineales positivos son los mismos para ambas involuciones.
Para demostrar que las dos involuciones son iguales, está claro que basta con demostrar que tienen los mismos elementos autoadjuntos.
Así que dejemos $h=h^*$ . Entonces para cada funcional positivo $\phi$ tenemos $\phi(h)\in \mathbb{R}$ . Por otro lado, $\phi(h')=\overline{\phi(h)}$ (¿por qué?). Así que $\phi(h')=\phi(h)$ De ahí que $\phi(i(h'-h))=0$ para cada funcional positivo.
Ahora para cada elemento autoadjunto $x$ existe un estado puro (punto extremo del espacio de estados que es el conjunto de funcionales positivas de norma $1$ ) tal que $|\phi(x)|=\|x\|$ (hecho clásico).
Aplicando esto a $i(h'-h)$ produce $$ 0=|\phi(i(h'-h))|=\|i(h'-h)\|\qquad\Rightarrow \qquad h'=h. $$ Por simetría, obtenemos $h^*=h$ si y sólo si $h'=h$ , lo que completa la prueba.
