Teorema. Deje $A$ $B$ ser conjuntos. Considere las siguientes tres afirmaciones:
- $f\colon A\to B$ es uno-a-uno.
- Existe $g\colon B\to A$ tal que $gf = \mathrm{id}_A$ ($f$ ha dejado inversa).
- Para cada conjunto $C$ y cada una de las funciones de $h,k\colon C\to A$ si $fh = fk$ $h=k$ ($f$ se deja cancelable).
Entonces 2$\implies$3$\iff$1. Por otra parte, si $A$ es no vacío, entonces el 1$\implies$2 todos los tres son equivalentes.
Prueba.
2$\implies$3. Deje $h,k\colon C\to A$ ser tal que $fh = fk$. Deje $g$ ser la función garantizados por 2. Entonces
$$h = \mathrm{id}_Ah = (gf)h = g(fh) = g(fk) = (gf)k = \mathrm{id}_Ak = k.$$
Por lo tanto, $f$ es de izquierda cancelables.
3$\implies$1. Deje $a,a'\in A$ ser tal que $f(a)=f(a')$. Tenemos que demostrar que el $a=a'$. Vamos $C=\{0\}$, $h\colon C\to A$ ser dado por $h(0)=a$, e $k\colon C\to A$ ser dado por $k(0)=a'$. A continuación,$fh(0) = f(a) = f(a') = fk(0)$. por lo $fh=fk$. Desde $f$ es de izquierda cancelables, llegamos a la conclusión de que $h=k$. Por lo tanto $a = h(0) = k(0) = a'$, lo que demuestra que el $f$ es uno-a-uno.
1$\implies$3. Deje $C$ a un y $h,k\colon C\to A$ ser tal que $fh = fk$. Tenemos que mostrar que $h=k$. Deje $c\in C$. A continuación,$f(h(c)) = f(k(c))$; desde $f$ es uno-a-uno, llegamos a la conclusión de que $h(c)=k(c)$. Desde $h(c)=k(c)$ todos los $c\in C$, se deduce que el $h=k$.
1$\implies$2 si $A$ es no vacío y $B$ son no vacíos. Desde $A$ es no vacío, no existe $a_0\in A$. Definir $g\colon B\to A$ como sigue:
$$g(b) = \left\{\begin{array}{ll}
a &\text{if }b\in f(A)\text{ and }f(a)=b;\\
a_0&\text{if }b\notin f(A).
\end{array}\right.$$
Esto está bien definido, ya que $f(a)=f(a')=b$ implica $a=a'$. Y si $b\in f(A)$, entonces no existe $a\in A$ tal que $f(a)=b$. Ahora, vamos a $a\in A$. A continuación,$g(f(a)) = a$, lo $gf = \mathrm{id}_A$, como se desee. $\Box$
En particular, dada una función de $f\colon A\to B$, si $g$ existe que hace que el diagrama conmuta, entonces $f$ es uno-a-uno. Por el contrario, si $f$ es uno-a-uno y $A$ es no vacío (o $A$ $B$ están vacíos), entonces podemos encontrar una $g$ que hace el diagrama conmuta.
Aquí está el doble:
Teorema. Deje $A$ $B$ ser conjuntos. Considere las siguientes tres afirmaciones:
- $f\colon A\to B$ es sobre.
- Existe $g\colon B\to A$ tal que $fg=\mathrm{id}_B$ ($f$ tiene derecho a la inversa).
- Para cada conjunto $C$ y cada una de las funciones de $h,k\colon B\to C$ si $hf = kf$, luego $h=k$ ($f$ es derecho cancelable).
Entonces 2$\implies$3$\iff$1. Por otra parte, la implicación de 1$\implies$2 es equivalente al Axioma de Elección.
Prueba. 2$\implies$3 $C$ ser un conjunto y deje $h,k\colon B\to C$ ser tal que $hf=kf$. Deje $g$ ser la función garantizados por 2; entonces:
$$h = h\mathrm{id}_B = h(fg) = (hf)g =(kf)g = k(fg) = k\mathrm{id}_B = k.$$
3$\implies$1. Deje $C=\{0,1\}$ y definen $h\colon B\to C$ $h(b)=1$ todos los $b$, y
$$k(b) = \left\{\begin{array}{ll}
1 & \text{if }b\in f(A);\\
0 &\text{if }b\notin f(A).
\end{array}\right.$$
A continuación,$hf = kf$, por lo tanto, por 3 $h=k$. Por lo tanto, $k(b)=1$ todos los $b\in B$, por lo tanto $f(A)=B$; es decir, $f$ es sobre.
1$\implies$3. Supongamos que $C$ es un conjunto y $h,k\colon B\to C$ son funciones tales que $hf = kf$. Deje $b\in B$; necesitamos mostrar $h(b)=k(b)$. Desde $f$ es sobre, existe $a\in A$ tal que $f(a)=b$. Por lo tanto,
$$h(b) = h(f(a)) = hf(a) = kf(a) = k(b).$$
Por lo tanto, $h=k$.
Si el Axioma de Elección se mantiene, entonces el 1$\implies$2: Si $f$ a, entonces para cada a $b\in B$, la $f^{-1}(b) = \{a\in A\mid f(a)=b\}$ es no vacío. Por el Axioma de elección, existe una función de $g\colon B\to \cup_{b\in B} f^{-1}(b)$ tal que $g(b)\in f^{-1}(b)$ por cada $b\in B$. Yo reclamo que $fg=\mathrm{id}_B$. De hecho, por cada $b\in B$, $g(b)\in f^{-1}(b)$, por lo $f(g(b))=b$.
Si el 1$\implies$2 se mantiene, entonces el Axioma de Elección se mantiene. Deje $\mathcal{X}=\{A_i\}_{i\in I}$ ser un vacío de la familia ($I\neq\varnothing$) de conjuntos no vacíos ($A_i\neq\varnothing$ por cada $I\in I$). Tenemos que mostrar que existe una función de $g\colon I\to\cup_{i\in I}A_i$ tal que $g(i)\in A_i$ por cada $i\in I$.
Deje $B_i = A_i\times\{i\}$. Tenga en cuenta que la familia $\mathcal{Y}=\{B_i\}_{i\in I}$ se compone de pares de distintos conjuntos. Deje $Y=\cup_{i\in I}B_i$, un definen $f\colon Y\to I$ $f(b_i,i) = i$ (proyección en el segundo componente). El mapa es, desde cada una de las $A_i$ es no vacío, por lo $B_i\neq\varnothing$. Por nuestra suposición de que el 1$\implies$2, existe $h\colon I\to Y$ tal que $h(i)\in B_i$ por cada $i\in I$. Deje $\pi_i\colon B_i\to A_i$ ser la proyección sobre la primera coordenada, $\pi_i(b_i,i) = b_i$. Definir $g\colon I\to \cup_{i\in I}A_i$ por
$$g(i) = \pi_i\circ h (i).$$
Desde $h(i)\in B_i=A_i\times\{i\}$,$\pi_i\circ h(i) \in A_i$. Esto es válido para cada una de las $i$, lo $g$ es la opción deseada de la función. $\Box$
En particular, si el diagrama de desplazamientos, a continuación, $g$ es sobre. Por el contrario, asumiendo el axioma de elección, si $g$ es sobre, entonces podemos encontrar una $f$ que encaja en el diagrama y se hace camino al trabajo.
