Encontrar el $\lim\limits_{x\to 0} \frac{(1+\tan x)^{1/x} - e}{x} $

Question

¿Cómo puedo encontrar:

$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{(1+\tan x)^{1/x} - e}{x} $$

Traté de L'Hospital, pero no, no puede ser aplicada, ya que no en una forma indeterminada.

Puedo tener algún tipo de ayuda? Gracias!

Answer 1

Recordar las expansiones de Taylor en $0$ de $$ e^u=1+u+O(u^2)\qquad \ln(1+v)=v-\frac{v^2}{2}+O(v^3) $$ y $$ \tan x=x+O(x^3). $$ Así $$ \frac{\ln(1+\tan x)}{x}=\frac{1}{x}\left(\tan x-\frac{\bronceado^2x}{2}+O(\bronceado^3x)\right) $$ $$ =\frac{1}{x}\left(x-\frac{x^2}{2}+O(x^3) \right)=1-\frac{x}{2}+O(x^2). $$ Entonces $$ (1+\tan x)^\frac{1}{x}=\exp \left(1-\frac{x}{2}+O(x^2)\right)=e\exp \left(-\frac{x}{2}+O(x^2)\right) $$ $$ =e\left(1-\frac{x}{2}+O(x^2)\right)=e-\frac{e}{2}x+O(x^2). $$ Finalmente, $$ \frac{(1+\tan x)^\frac{1}{x}-e}{x}=-\frac{e}{2}+O(x)\longrightarrow -\frac{e}{2}. $$