Dylan derecho que diffeomorphism grupos son infinitas dimensiones. Hay una teoría de infinitas dimensiones Mentira grupos que he escuchado, pero creo que es mucho más difícil de trabajar, las cosas como convergencia. Vale la pena señalar, sin embargo, es que en esta analogía, si $Diff(M)$ es una Mentira grupo, a continuación, su Mentira álgebra debería ser $Vect(M)$ el (infinito-dimensional) espacio vectorial de suave campos vectoriales en $M$. La Mentira de álgebra soporte es sólo el habitual campo de vectores de soporte (posiblemente hasta una señal? pero si es así, entonces es sólo a causa de la estupidez de choque de los convenios). De forma heurística, para buscar finito dimensionales Mentira grupos, vamos a ponerle un poco más de estructura en $M$ y la necesidad de que nuestros diffeomorphisms preservar este. Si usted está buscando en las cosas que no son tan homogéneos de entrar en el territorio de la $G$-paquetes, lo que creo que definitivamente, usted debe mirar en si usted no lo sabe ya acerca de ... no se necesita saber mucho de la Mentira de la teoría para obtener los conceptos básicos, y es realmente genial (creo que te va a gustar también). No tengo una referencia de improviso (por favor, alguien, publicar un comentario si lo hacen) pero me llevé una excelente clase de Robert Bryant año pasado y un amigo mío está trabajando en el envío de mensajes de texto, hasta las notas, así que espero que los que estará disponible (al menos en parte) antes de demasiado tiempo.
Por el camino, $Aut(M)/$isotopía se llama la clase de asignación de grupo. Esto puede ser escrito $MCG(M)=Aut(M)/Aut_0(M)$ donde $Aut_0(M)$ es el componente conectado de la identidad del mapa, que si lo piensas es todo isotopies son de todos modos. Esto ha sido ampliamente estudiado. No recuerdo mucho de una clase que tomé con Jeff Brock hace un par de años, pero la comprobación de la wikipedia me recuerda que, por ejemplo,$MCG(\mathbb{T}^n)\simeq GL(n,\mathbb{Z})$. También dice que los MCGs de las superficies han sido ampliamente estudiados. En cualquier caso, usted puede ver que esto es sólo el grupo de $\pi_0(Aut(M))$, por lo que suponiendo que usted entienda $MCG(M)$ (!) a continuación, usted sólo tiene que averiguar $Aut_0(M)$ (!) para tener la imagen completa. Lo que nos lleva de vuelta a la pregunta original.
Yo no sé mucho, pero como he dicho es definitivamente más fácil (y finito de dimensionaler) si nos restringimos a los colectores con la estructura. Podemos empezar por decir algo simple: $Isom(S^n)=O(n+1)$. Uno potencialmente provechosa manera de pensar acerca de esto es empezar con un (matriz) de grupo y encontrar un subespacio invariante de la (afín) el espacio en el que se actúa, esperemos que libremente -- muy a menudo, este debe ser un colector, creo. De lo contrario, las cosas probablemente será considerablemente más difícil. Si pones el plano métrico en un toro y asumir su rol fundamental de dominio es un cuadrado, entonces usted debería ser capaz de mirar a isometrías por lo que le hacen a su fundamental de la plaza, sentado en un plano de la celosía. Para representar una isometría se necesita para ser una isometría de la plaza, y a ser un mapa continuo tendrás las cuatro esquinas para ser asignado a preimages de el mismo punto en $\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{T}^2$. Estoy bastante seguro de que este termina significando $Isom_0(\mathbb{T}^2)\cong \mathbb{T}^2$. Pero tal vez eso no es tan sorprendente, ya que es un grupo en sí mismo. Supongo que todo es realmente diciendo es que no hay isometrías otro que el de "multiplicar por$g$" mapa de $g\in \mathbb{T}^2$. El grupo $Conf(\mathbb{T}^2)$ debe ser bastante diferentes, pero creo que no se puede continuamente se dilatan debido a que eventualmente cambiar el grado de su mapa (que es un discreto invariante), de manera similar, el análisis debe ir a través de, pero usted no obtendrá ningún interesante Mentira-tipo de comportamiento. Más interesante sería tratar todo esto con el fundamental dominio para una $n$-metidos toro ($n\geq 2$) sentado en una celosía plano hiperbólico. Pero es tarde y estoy cansado, así que no voy a hacerlo. Usted debe, sin embargo! Si no, dime lo que pueda venir.
