Recientemente escuché un chiste:
Si existe un objeto, los matemáticos llaman un conjunto y estudio. Pero si un objeto no existe, los matemáticos llaman una clase adecuaday estudio de todos modos.
Me pregunto, si hay algún matemático o filosófico significado en ella?
Permítanme comenzar diciendo que sí. Hay algunos matemáticos sentido a esta broma.
Establece, como ustedes saben, son los objetos de interés en la teoría de conjuntos. Por ejemplo, $\sf ZFC$, que es probablemente el "defecto" de la teoría de conjuntos en los ojos de muchos. Uno de los lugares más hermosos de la moderna teoría de conjuntos es que lo podemos usar como una base para las matemáticas. Es decir, podemos, con sólo el $\$ relación a nuestra disposición, construir y describir prácticamente todas las construcciones en las matemáticas dentro de la teoría de conjuntos. Bueno, eso es incorrecto, pero si nos limitamos a los clásicos de las matemáticas, o cosas por el estilo básico de análisis y así sucesivamente, entonces la respuesta es positiva. Sí, podemos hacer que sólo con $\sf ZFC$. No voy a entrar en detalles sobre cómo podemos hacer eso, pero vamos a suponer que estamos de acuerdo en eso por ahora.
Si es así, podemos tratar la matemática del universo, la colección de todos los objetos de las matemáticas como un universo de conjuntos que se adhiere a los axiomas de $\sf ZFC$. Significa que todos nuestros objetos son conjuntos.
Entonces, ¿qué significa existir? Si $\varphi(x)$ es una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos, entonces podemos preguntar si o no $\exists x\varphi$ es un enunciado verdadero en el universo. Pero cuando es cierto? Es cierto que hay algunos objetos en nuestro universo que se cumple la formula $\varphi$. En este caso, decimos que existe de $x$.
Pero espera, objeto en el universo? Ya estamos de acuerdo en que los objetos en el universo son conjuntos. Así que si existe un objeto que podemos decir que existe un conjunto. Así que cuando tenemos una cierta propiedad $\psi$, podemos definir de la siguiente fórmula: $$\varphi(x):=\forall y(y\x\leftrightarrow\psi(y))$$
Ahora podemos preguntar, ¿ existe $$ x que satisface $\varphi$? Si es que la hay, entonces $x$ es un conjunto, porque existente es sinónimo de ser un objeto en el universo, que a su vez es sinónimo de ser un conjunto.
Sin embargo, las paradojas de la teoría de conjuntos nos dicen que no todas las $\varphi$ se pueden realizar en el universo. Si $\psi(x)$ es simplemente $y\noen y$, entonces $\lnot(\exists x\varphi(x))$. No hay ningún conjunto que incluye todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Pero todavía podemos hacer preguntas con sentido acerca de la colección de objetos que no se incluyen a sí mismos. Es esta colección cerrada bajo uniones? las intersecciones? tomar el poder?
Con el fin de manejar este tipo de construcciones que definen la noción de una clase. Las clases son sólo colecciones que están definidas por una fórmula. A veces esos son conjuntos, pero a veces no. Si una clase no es un conjunto, podemos decir que es una clase adecuada.
Ejemplos de correcta clases son la colección de todos los conjuntos; todos los no-vacía de conjuntos; todos los grupos; todas las funciones, todos los embarazos únicos; y así sucesivamente y así sucesivamente. Cada uno de estos puede ser descrito mediante una fórmula. Y, de hecho, en muchas maneras, una forma correcta de mirar a clases es a considerar como objetos sintácticos. Cuando hablamos de clases que realmente sólo hablar acerca de las fórmulas.
La broma, si es así, dice que cuando matemático tratar de analizar algo, si existe, es un conjunto ... porque es un objeto de nuestro universo; pero si no existe, entonces es una clase adecuada.
Pero la broma, por supuesto, es sólo una broma, se esconde una profunda e importante punto. Para una colección para ser una clase debe ser definida por una fórmula. Así, mientras que la existencia es sinónimo de ser un conjunto, la no-existencia no es sinónimo de ser una clase adecuada.
Por ejemplo, si denotamos por $V$ la clase adecuada de todos los conjuntos, entonces $\{V\}$ no es ni un juego ni una clase adecuada. Que no existe. Pero espera, ¿qué significa? Que acabo de escribir. Así que ¿cómo es que no existen? Bueno, hay un montón de puntos en una prueba formal, pero el camino más corto para argumentar que es para demostrar que los elementos de las clases son conjuntos. Por lo tanto, si $\{V\}$ es una clase, tenemos que $V$ es un conjunto, pero ya sabemos que no lo es.
Por lo tanto la colección de $\{V\}$ no es definible por una fórmula.
Otro ejemplo es que podemos demostrar que no hay ninguna función de $\Bbb N$ en $\Bbb R$. Esto no significa que dicha función es una clase adecuada. No, simplemente no puede ser definido.
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