Acerca de las infinitas soluciones de una ecuación de Diophantine

Question

Considere el siguiente problema: $$\sum_{k=1}^N k^2=q^2$$ donde p es un número entero. Esto puede ser escrito como: $$\frac{1}{3}N^3+\frac{1}{2}N^2+\frac{1}{6}N=q^2$$ De la misma manera que podemos escribir: $$\sum_{k=1}^N k^3=q^3$$ lo que significa: $$\frac{1}{4}N^4+\frac{1}{2}N^3+\frac{1}{4}N^2=q^3$$ En general, podemos considerar la siguiente ecuación: $$\sum_{k=1}^N k^r=q^r$$ con $r$ número entero. La pregunta es: ¿esta ecuación tiene infinitas soluciones para cada $r$ entero? Gracias.

Answer 1

En general, Schaffer demostrado en 1956 que la ecuación $$ \sum_{k=1}^K^r = q^n $$ tiene más de un número finito de soluciones, a menos que $$ (r,n) \en \{ (1,2), (3,2), (3,4), (5,2) \}. $$ La prueba de los usos del teorema de Siegel (aunque, como Erick notas, Faltings llevaría a la misma conclusión).

Answer 2

No siempre,cuando se $r=2$, la ecuación de $x(x+1)(2x+1)=6y^2$ sólo tiene estas soluciones:$(x,y)=(0,0)(-1,0)(1,±1)(24,±70).$