Los autovalores de a $A(A+B)^{-1}$

Question

Dado un positivo semidefinite matriz $A$ y una matriz positiva definida $B$ de la misma dimensión. Podemos demostrar que cada autovalor: $$ \lambda\{A(A + B)^{-1}\} < 1$$

(en el escalar caso, esto es $\frac{a}{a + b} < 1$ cuando ambos $a$ $b$ son positivos que tiene trivialmente)

Answer 1

Sabemos que para matrices cuadradas $C$, $D$, tanto en $CD$ $DC$ tienen los mismos autovalores.

Por lo $A(A+B)^{-1}$ tiene los mismos autovalores como $$ (A+B)^{-1/2} (A+B)^{-1/2}, $$ que es positiva definida. Tenemos \begin{align} I-(A+B)^{-1/2}A(A+B)^{-1/2}&=\\ &=(A+B)^{-1/2}(A+B)(A+B)^{-1/2}-(A+B)^{-1/2}A(A+B)^{-1/2}\\ &=(A+B)^{-1/2}B(A+B)^{-1/2},\end{align} que es positiva definida. Así, todos los autovalores de a $A(A+B)^{-1}$ son estrictamente menor que uno.

Edit: he aquí una aclaración del método utilizado, en caso de que no sea evidente. Si $I-X$ es positiva definida y $X=VDV^*$ $D$ diagonal, entonces $$ I-X=I-VDV^*=V(I-D)V^*. $$ Por lo que la diagonal de $I-D$ consiste en positivo entradas, lo que demuestra que cada uno de los autovalores de a$X$$(0,1)$.

Answer 2

Una respuesta parcial: En el caso de $B(A+B)^{-1} = (A+B)^{-1}B$, los siguientes argumentos se tiene:

$B$ es positiva definida, por lo tanto, $A+B \succ 0$ e lo $(A+B)^{-1} \succ 0$. También, $B(A+B)^{-1}\succ 0$ (Ya que ambos conmutar), ya que $B \succ 0$. Ahora $A(A+B)^{-1} +B(A+B)^{-1} = I$, lo $B(A+B)^{-1}\succ 0 \Rightarrow I-A(A+B)^{-1}\succ 0 \Rightarrow \lambda(I-A(A+B)^{-1}) > 0 \Rightarrow \lambda(A(A+B)^{-1})<1$. Tal vez eso ayuda para algunas ideas.