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Ideales máximos principales en el anillo de coordenadas de una curva elíptica

Dejemos que $E$ sea una curva elíptica sobre un campo algebraicamente cerrado, y sea $R$ sea el anillo de coordenadas de $E \setminus \{\infty\}$ . He leído en alguna parte que $R$ no tiene ningún ideal máximo principal. Pero no puedo encontrarlo de nuevo. ¿Alguien sabe una referencia? ¿O quizás una prueba sencilla?

Editar: Ya se dan dos pruebas a continuación. Todavía estoy interesado en una referencia a la literatura, porque me gustaría citar esto.

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Bien, permítanme hacer de mi comentario una respuesta como se pide.

Supongamos que hubiera un punto $p \in E \setminus \{\infty\}$ tal que $m_p=(f)$ un ideal principal. Pensando en f como una función racional sobre E, el divisor $div(f)$ tendría que ser entonces $p\infty$ (porque un divisor principal en una curva tiene grado cero). Es decir, los puntos $p$ y $\infty$ serían linealmente equivalentes como divisores en $E$ que nunca es el caso de puntos distintos en una curva elíptica, como se demuestra (¡espero que sin invocar el hecho que queremos demostrar!) en los textos estándar de geometría algebraica.

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YequalsX Puntos 320

Aquí hay una demostración directa, utilizando una presentación de la curva elíptica como las soluciones de una cúbica de Weierstrass, y el teorema de Bezout.


Presentar nuestra curva elíptica en términos de una cúbica de Weierstrass en la afín $x,y$ -Avión. Sea $X,Y,Z$ sean las correspondientes coordenadas homogéneas en el plano proyectivo. Entonces el punto en el infinito $O$ es $[0,1,0]$ y podemos tomar las coordenadas afines para que sean $x = X/Y, z = Z/Y.$ El hecho clave es que la línea tangente a la curva en $O$ es la línea en el infinito $z = 0$ y se encuentra con la curva en $O$ con orden $3$ . Esto significa que podemos tomar $x$ para ser un uniformador en $O$ y cuando expandimos $z$ como una serie de potencias en $x$ en el anillo local completo en $O$ , tiene tiene un término principal $x^3$ .

Supongamos ahora que algún ideal maximal en el anillo de coordenadas de $E\setminus \{O\}$ es principal, digamos que generada por $f(x,y)$ . Por la Nullstellensatz, este ideal máximo corresponde a un punto $P \neq O$ de $E$ y decir que $f(x,y)$ genera el ideal máximo asociado a $P$ es decir que $f(x,y)$ se desvanece al orden exacto $1$ en $P$ y no desaparece en ningún otro punto de $E \setminus \{O\}$ .

Dejemos que $C$ sea el cierre proyectivo (es decir, el cierre de Zariski en $\mathbb P^2$ ) de $f(x,y) = 0$ . Si $d$ es el grado máximo de un monomio en $f(x,y)$ entonces $C$ tiene grado $d$ y por Bezout se encuentra $E$ en $3d$ puntos, contados con multiplicidad. Por lo que hemos dicho, debe cumplir $E$ en $O$ con mult. $3 d -1$ .

Ahora dejemos que $g(x,z)$ sea la ecuación de la intersección de $C$ con el $(x,z)$ -Avión. Para calcular la mult. con la que $C$ se encuentra con $E$ en $O$ Tenemos que considerar $g(x,z)$ como un elt. del anillo local completo en $O$ y ver qué orden cero tiene.

Ahora $g(x,z)$ es una combinación lineal de monomios $x^i z^j$ con $i + j \leq d$ . Recordando que $z = x^3 + $ términos de orden superior, encontramos que si $g(x,z)$ se desvanece al orden $\geq 3d - 1$ en $O$ entonces el único monomio no nulo que contiene es $z^d$ , y luego se desvanece realmente a la orden $3d$ en $O$ .

En resumen, no es posible encontrar una curva de grado $d$ reunión $O$ con multiplicidad precisamente igual a $3d - 1$ y, por tanto, el ideal máximo de $P$ no puede ser principal después de todo. QED


Este argumento está relacionado con los argumentos de la teoría de la intersección que dan una prueba directa de que la ley de cuerda-tangente hace que los puntos de $E$ un grupo algebraico. Así, aunque quizás no sea obvio, este argumento es relacionados con la relación entre $E$ y su grupo Picard descrito en la otra respuesta.

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