Resultando : $A \cap (B-C) = (A \cap B) - (A \cap C)$

Question

He probado usando un diagrama de Venn, pero cuando estoy tratando de demostrar esta usando la regla de que "Si $ A \subset B \text{ and } B \subset A $$ A = B $", estoy teniendo algunos problemas con mi comprensión de la misma,así es como lo hice hasta ahora:

Deje $x \in A \cap (B-C) \Rightarrow x \in A \text{ and } x \in (B-C) \Rightarrow x \in A \text{ and } (x \in B \text{ and } x \notin C) $

Cómo proceder? Ya que si yo soy de hacer algo como esto: $ x \in A \text{ and } x \in B \text{ and } x \in A \text{ and } x \notin C $, que no está dando los resultados correctos, exactamente lo que yo estoy perdiendo aquí?

Answer 1

Sugerencia: $x \notin C \Rightarrow x \notin D \cap C$ para cualquier conjunto $D$.

Answer 2

Aquí es de un estilo diferente de la prueba, a saber. un ecuacional y de cálculo.

La idea es comenzar en la mayoría de los complejos de lado, traducir del conjunto de la teoría a la lógica de trabajo en el nivel de elemento, a continuación, la expansión de las definiciones, y ver dónde te lleva.

En otras palabras, para todos los $\;x\;$ calculamos: \begin{align} & x \in (A \cap B) - (A \cap C) \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"expand definition of %#%#%, and of %#%#% (twice)"} \\ & x \in A \land x \in B \land \lnot(x \in A \land x \in C) \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"DeMorgan"} \\ & x \in A \land x \in B \land (x \not\in A \lor x \not\in C) \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"use leftmost conjunct %#%#% in the rightmost conjunct"} \\ & x \in A \land x \in B \land (\textrm{false} \lor x \not\in C) \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"simplify"} \\ & x \in A \land x \in B \land x \not\in C \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"reintroduce %#%#% and %#%#%"} \\ & x \in A \cap (B - C) \\ \end{align}

Answer 3

Simplyfing la notación de @Marnix respuesta:

$$ A \cap B - C) \\ = A \cap B \cap C' \text{ (definición de complemento)}\\ = A \cap B \cap (' \cup C') \text{ (truco, } \cap B \cap a' = \emptyset\text{)}\\ = A \cap B \cap (A \cap C)' \text{ (complemento de la intersección de conjuntos en los apoyos)}\\ = (A \cap B) \cap (A \cap C)' \text{ (assoc.)}\\ = (A \cap B) - (A \cap C) \text{ (definición de complemento)}\\ $$

La clave es la introducción de un buen conjunto discontinuo (con $A \cap B$) para la unión con C'.

Answer 4

Es posible continuar su solución$$\begin{align} A\cap(B-C) & = \{x\space|\space x\in A\space\land(x\in B\space\land x\notin C)\} \\ & = \{x\space|\space (x\in A\space\land x\in B)\space\land x\notin C\} \\ & = \{x\space|\space (x\in A\space\land x\in B)\space\land (x\notin A\lor x\notin C)\} \\ & = \{x\space|\space (x\in A\space\land x\in B)\space\land \neg(x\in A\land x\in C)\} \\ & = (A\cap B)-(A\cap C) \end{align}$$