Definición de la cúspide de una congruencia grupo

Question

Estoy leyendo p.22 de Dan Golpe del Automorphihic formas y representaciones. A la cúspide de la congruencia grupo actuando en la mitad superior del plano se define como la órbita de la acción de la congruencia de los subgrupos en $\mathbb{Q} \mathbb{P}^1$. También dice que, intuitivamente, las cúspides son los lugares donde fundamentales de un dominio de la congruencia de los subgrupos de tocar el límite de la mitad superior del plano.

Pregunta: ¿por Qué la definición de lo que significa la intuición dice?

Gracias!

Answer 1

Usted debe identificar a la mitad superior del plano con un subespacio de $\mathbb{C}$ con un subespacio de la esfera de Riemann. En esta identificación $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ es un gran círculo que separa la mitad superior del plano y la mitad inferior del plano, y $\mathbb{P}^1(\mathbb{Q})$ es de la órbita de la $\infty$ bajo $\text{PSL}_2(\mathbb{Z})$. Esta órbita se rompe para arriba en una unión de órbitas bajo ninguna congruencia de los subgrupos y estos son los puntos en los cuales fundamental de dominio puede tocar el límite porque

• bajo la acción de $\text{PSL}_2(\mathbb{Z})$ fundamental dominio toca el límite sólo en $\infty$, y
• fundamental de dominio por cualquier congruencia de los subgrupos es una unión que se traduce fundamentales de los dominios de $\text{PSL}_2(\mathbb{Z})$.