Si $f(x) = e^{-x}+2e^{-2x}+3e^{-3x}+\cdots$, a continuación, encontrar $\int_{\ln2}^{\ln3}f(x)dx$

Question

Resolver el siguiente

Si $f(x) = e^{-x}+2e^{-2x}+3e^{-3x}+\cdots $

A continuación, encontrará $\int_{\ln2}^{\ln3}f(x)dx$

No tengo ninguna idea.

Answer 1

En primer lugar, su suma "a $\infty$" es sugerente, pero lo malo de notación. No escribir así.

Comience con (oso conmigo por un momento): $$ \begin{align*} \sum_{n \ge 0} z^n &= \frac{1}{1 - z} \quad \lvert z \rvert < 1 \\ \sum_{n \ge 0} n z^{n - 1} &= \frac{d}{d z} \frac{1}{1 - z} = \frac{1}{(1 - z)^2} \\ \sum_{n \ge 1} n z^n &= \frac{z}{(1 - z)^2} \end{align*} $$ En su caso, $z = e^{-x}$, por lo que los límites de la integral de la $e^{- \ln 2} = \frac{1}{2}$$e^{- \ln 3} = \frac{1}{3}$, que son cómodamente en el interior de la convergencia de la gama. Así, se puede escribir: $$ f(x) = \frac{e^{-x}}{(1 - e^{-x})^2} $$ Así que su integral es: $$ \begin{align*} \int_{\ln 2}^{\ln 3} f(x) \, d x &= \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{e^{-x} \, d x}{(1 - e^{-x})^2} \\ &= - \int_2^3 \frac{du}{(1 - u)^2} \\ &= \left. \frac{1}{1 - u} \right|_{u = 2}^3 \\ &= \frac{1}{-2} - \frac{1}{-1} \\ &= \frac{1}{2} \end{align*} $$ Las manipulaciones en la serie infinita puede ser justificada de manera rigurosa para poder serie dentro de sus radios de convergencia.

Answer 2

Deje $x \in [\ln 2, \ln 3]$. El uso de la forma cerrada de la serie geométrica, obtenemos:

$$ g(x) = \sum_{n=1}^\infty e^{-nx} = \frac{1}{e^x - 1} $$

Diferenciar término por término, para obtener:

$$ f(x) = -g'(x) = \sum_{n=1}^\infty n e^{-nx} = \frac{e^x}{(e^x - 1)^2} $$

Esto es válido debido a que la convergencia es uniforme en ambos casos por el M de Weierstrass de la prueba.

La integración de la última función debe ser sencillo.