demostrar que una función de distancia es continua

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio métrico con métrica $d$ . Definir $d: X \times X \to \mathbb{R}$ , demuestran que $d$ es continua.

Me gustaría demostrar que la función es continua a la manera de la topología (ya que es un curso de topología).

Dejemos que $(a,b)$ sea un conjunto abierto básico en $\mathbb{R}$ entonces $d^{-1}(a,b) = \{(x,y): a<d(x,y)<b\}$ . Definir $A= \bigcup_{x \in X} B_{b} (x)$ , donde $B_b (x) = \{y \in X| d(x,y)<b$ }. Claramente $A$ está abierto. Ahora defina $C = \{(x,y):d(x,y)>a \}.$ Esencialmente espero que $A \cap C$ está abierto. Pero estoy atascado en mostrar que $C$ está abierto.

¿Alguna ayuda, por favor? :)

Answer 1

SUGERENCIA: Supongamos que $d(x,y)>a$ . Sea $r=\frac12\big(d(x,y)-a\big)$ . Si $\langle u,v\rangle\in B_r(x)\times B_r(y)$ entonces

$$d(x,y)\le d(x,u)+d(u,v)+d(v,y)\;,$$

así que $$d(u,v)\ge d(x,y)-d(x,u)-d(v,y)\;.$$

Answer 2

Para demostrar que $d^{-1}(a,b)$ está abierto, es necesario especificar para cada punto $(x,y)$ en él un conjunto abierto básico de la topología del producto (sí, deberíamos utilizar propiedades de la topología del producto en algún lugar), es decir, un conjunto de la forma $U\times V$ con $u,V$ abierto, $x\in U$ , $y\in V$ . Como $X$ es un espacio métrico, podemos probar con bolas abiertas $U=B_r(x)$ , $V=B_r(y)$ para que sea adecuado $r$ . ¿Cómo podemos elegir $r>0$ para hacer cumplir $B_r(x)\times B_r(y)\subseteq d^{-1}(a,b)$ ? (Traduzca simplemente lo que significa) Para ello necesitará (¡ay!) las propiedades definitorias de la métrica.