Ejemplos sencillos de $3 \times 3$ matrices de rotación

Question

Me gustaría tener algunos ejemplos numéricamente sencillos de $3 \times 3$ Matrices de rotación que son fáciles de manejar en cálculos manuales (utilizando sólo el cerebro y un lápiz). Las matrices que contienen demasiados ceros y unos son aburridas, y las que tienen raíces cuadradas son indeseables. Un buen ejemplo es algo como $$ M = \frac19 \begin{bmatrix} 1 & -4 & 8 \\ 8 & 4 & 1 \\ -4 & 7 & 4 \end{bmatrix} $$ ¿Alguien tiene otros ejemplos o un proceso para generarlos?

Una fórmula general para una matriz de rotación es la siguiente aquí . Así que un posible enfoque sería elegir $u_x$ , $u_y$ , $u_z$ y $\theta$ para que consigas algo sencillo. Suficientemente simple para cálculos manuales, pero no trivial. Como el ejemplo anterior.

Answer 1

Siempre que tengo la oportunidad de enseñar álgebra lineal hago cosas como las siguientes para producir matrices de rotación "bonitas". La idea básica es que una composición de dos reflexiones es siempre una rotación. Me limito a 3D en lo que sigue.

La razón por la que creo que esto encaja aquí es que los reflejos suelen tener bonitas matrices. Si reflejamos $\Bbb{R}^3$ respecto al plano con normal $\vec{n}=(n_1,n_2,n_3)$ entonces ese reflejo $s$ viene dada por la receta $$ s(\vec{x})=\vec{x}-2\,\frac{\vec{x}\cdot\vec{n}}{\Vert\vec{n}\Vert^2}\vec{n}. $$ Si $\vec{n}$ tiene componentes racionales, entonces la matriz de $s$ con respecto a la base estándar tendrá entradas racionales. Como necesitamos dos reflexiones para obtener una rotación, podemos multiplicar dos matrices de este tipo, o bien utilizar una opción muy sencilla de $\vec{n}$ para el otro.

Por ejemplo, la reflexión respecto al plano $3x+2y+z=0$ con $\vec{n}=(3,2,1)$ envía $$ \begin{aligned} (1,0,0)&\mapsto(1,0,0)-\frac37(3,2,1)=\frac17(-2,-6,-3),\\ (0,1,0)&\mapsto(0,1,0)-\frac27(3,2,1)=\frac17(-6,3,-2),\\ (0,0,1)&\mapsto(0,0,1)-\frac17(3,2,1)=\frac17(-3,-2,6). \end{aligned} $$ Si (post)componemos esto con la reflexión $(x,y,z)\mapsto(-x,y,z)$ obtenemos la rotación representada por la matriz $$ R=\frac17\left( \begin{array}{rrr} 2&6&3\\ -6&3&-2\\ -3&-2&6 \end{array}\right). $$ El eje de rotación aquí tiene que ser un vector que sea perpendicular a ambos $\vec{n}$ y $(1,0,0)$ (la normal del segundo plano de reflexión). El producto cruzado $\vec{w}=(0,-1,2)$ es uno de esos vectores, y puedes fácilmente verificar que $R(0,-1,2)^T=(0,-1,2)^T$ .

Answer 2

Aquí tienes algunas:

$$\left[ \begin {array}{ccc} 1/3&2/3&2/3\\ 2/3&-2/3&1/3\\ 2/3&1/3&-2/3\end {array} \right] $$ $$\left[ \begin {array}{ccc} 2/7&3/7&6/7\\ 3/7&-6/7&2/7\\ 6/7&2/7&-3/7\end {array} \right] $$ $$ \left[ \begin {array}{ccc} \frac{2}{11}&{\frac {6}{11}}&{\frac {9}{11}}\\ -{\frac {6}{11}}&-{\frac {7}{11}}&{\frac {6}{11}} \\ {\frac {9}{11}}&-{\frac {6}{11}}&\frac{2}{11}\end {array} \right] $$

EDIT: aquí están las pequeñas soluciones enteras positivas de $a^2 + b^2 + c^2 = d^2$ con $a \le b \le c$ y $\gcd(a,b,c,d)=1$ en orden creciente $b^2 + c^2$ :

$$\eqalign{1^2 + 2^2 + 2^2 &= 3^2\cr 2^2 + 3^2 + 6^2 &= 7^2\cr 4^2 + 4^2 + 7^2 &= 9^2\cr 1^2 + 4^2 + 8^2 &= 9^2\cr 6^2 + 6^2 + 7^2 &= 11^2\cr 2^2 + 6^2 + 9^2 &= 11^2\cr 3^2 + 4^2 + 12^2 &= 13^2\cr 2^2 + 10^2 + 11^2 &= 15^2\cr 2^2 + 5^2 + 14^2 &= 15^2\cr 8^2 + 9^2 + 12^2 &= 17^2\cr 1^2 + 12^2 + 12^2 &= 17^2\cr }$$

Answer 3

Ten en cuenta que el producto de dos matrices racionales también será una matriz racional. Esto te permite construir un montón de matrices racionales rotatón componiéndolas. Por ejemplo: $$ \frac15 \begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \cdot \frac1{13} \begin{pmatrix} 5 & 0 & -12 \\ 0 & 13 & 0 \\ 12 & 0 & 5 \end{pmatrix} = \frac1{65} \begin{pmatrix} 15 & 52 & -36 \\ -20 & 39 & 48 \\ 60 & 0 & 25 \end{pmatrix} $$ por lo que esta última también es una matriz de rotación racional.

Answer 4

Algunas entradas de la matriz de rotación, ya sean $2 \times 2$ o $3 \times 3$ son las funciones trigonométricas; para garantizar que las entradas de la matriz sean números sencillos y menos costosos desde el punto de vista computacional, elija múltiplos enteros de $\pi$ en la que las funciones trigonométricas son $1, -1$ o $0$ .

¿Es eso lo que querías decir?