La comprensión de Hatcher prueba de Borsuk-Ulam teorema de $n=2$

Question

Estoy tratando de entender la prueba de Borsuk-Ulam teorema de $S^2$ dado en Hatcher "Topología Algebraica" (Th. 1.10), como por otra persona aquí, pero estamos atrapados en lugares diferentes, así que espero que esta pregunta no está considerada como un duplicado.

Borsuk-Ulam: Si $f:S^2\rightarrow\mathbb R^2$ continua, entonces existe $x\in S^2$, de tal manera que $f(x)=f(-x)$.

Argumentando por contradicción, supongamos que no hay tal $x$, entonces podemos definir

$g:S^2\rightarrow S^1$,$\quad$$g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{\|f(x)-f(-x)\|}$. Conectar $-x$, podemos ver que $g(-x)=-g(x)$.

Definir un bucle vueltas al ecuador $\eta:[0,1]\rightarrow S^2,\quad\eta(s)=(\cos(2\pi s), \sin(2\pi s),0)$ y deje $h:=g\circ \eta:[0,1]\to S^1$ ser el compuesto de bucle. Directo de verificación da:

$h(s+\frac12)=g(\eta(s+\frac12))=g((\cos(2\pi s+\pi),\sin(2\pi s+\pi),0))=g(-\eta(s))=-h(s)$

para todos los $s\in[0,\frac12]$. Deje $\tilde h:[0,1]\to \mathbb R$ ser un levantamiento de $h$.

Entonces ahí va la frase: 'la ecuación de $h(s+\frac12)=-h(s)$ implica que el $\tilde h(s+\frac12)=\tilde h(s)+\frac q2$ $q$ algunos entero impar...'

¿Alguien tratar de entender el porqué de esta críptica afirmación puede ser cierta?

Answer 1

OK: La universalización de la cobertura del círculo que Hatcher utiliza es $$ p: t\mapsto e^{2\pi i t}, p: {\mathbb R}\S^1\subconjunto {\mathbb C}, $$ cuando pensamos en el círculo de $S^1$ como el círculo unidad en el plano complejo. Ahora, es sólo un cálculo directo para demostrar que para cualquier par de puntos $z, -z\in S^1$, cualquiera de los dos elementos de la $t_1\in p^{-1}(z), t_2\in p^{-1}(-z)$, se diferencian por una "media entero", es decir, un número de la forma $n + \frac{1}{2}$ donde $n$ es un número entero.

Answer 2

Esta es una explicación más detallada de studiosus respuesta.

Lema 1: Vamos a $p : \mathbb R \to S^1$ ser el estándar que cubre mapa definido por $p(s) = e^{2\pi i s}$ y deje $z \in \mathbb S^1$. Si $t \in p^{-1}(z)$$s \in p^{-1}(-z)$, $t - s = q/2$ donde $q$ es un entero impar.

Prueba: Supongamos $p : \mathbb R \to S^1$ ser el estándar que cubre mapa definido por $p(s) = e^{2\pi i s}$ y deje $z \in \mathbb S^1$. Deje $t \in p^{-1}(z)$$s \in p^{-1}(-z)$. Definir $x = t - s$ y observar que $x = t - s$ si y sólo si $2 \pi i x = 2 \pi i (t - s)$ si y sólo si $$ e^{2 \pi i x} = e^{2 \pi i (t - s)} = \frac{e^{2 \pi i s}}{e^{2 \pi i t}} = \frac{p(t)}{p(s)} = \frac{z}{-z} = -1.$$

Tomando el logaritmo natural de ambos lados obtenemos $$\begin{align} 2 \pi i x = \ln (-1) (\star) \end{align}$$ Recordar por la Identidad de Euler, que $e^{i \pi} = e^{\pi i (2n + 1)} = -1$$n \in \mathbb Z$, por lo que $$\begin{align} \ln(-1) = \pi i (2n + 1) (\star \star) \end{align}$$ para algunos $n \in \mathbb Z$. Poniendo ambas Ecuaciones $(\star)$$(\star \star)$, obtenemos $\pi i (2n + 1) = 2 \pi i x$ algunos $n \in \mathbb Z$. Por lo tanto $x = \frac{q}{2}$ algunos $n \in \mathbb Z$ donde $q = 2n + 1$ es impar.

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Deje $p : \mathbb R \to S^1$ ser el estándar que cubre mapa definido por $p(t) = e^{2\pi i t}$.

Deje $\tilde h$ ser el levantamiento de $h$ $S^1$ $\mathbb R$través $p$, con lo que obtenemos la siguiente $p \circ \tilde h = h$.

Tenga en cuenta que tenemos $\tilde h(s + 1/2) \in p^{-1}\big(h(s + 1/2) \big)$$\tilde h(s) \in p^{-1}\big(h(s) \big)$.

Pero desde $h(s + 1/2) = -h(s)$, son antipodal puntos, lo que significa Lema 1 nos dice $\tilde h(s + 1/2) = \tilde h(s) + q/2$ donde $q$ es un entero impar.