Demostrar que existe un único $f$ (en $\mathbb R^+$ ) tal que $\frac{d}{dx}f(x)=f^{-1}(x)$

Question

Pregunta: Demuestre que existe una biyección única $f:\mathbb R^+\to\mathbb R^+$ tal que $\frac{d}{dx}f(x)=f^{-1}(x)$ donde el lado derecho es el inverso funcional.

Supuse que empezaría por encontrar un ejemplo trivial de existencia, pero 1) no se me ocurre ninguno y 2) no sé cómo demostraría la unicidad.

Answer 1

Por ejemplo $f$ de la forma $f(x) = c x^p$ . Vea lo que $c$ y $p$ debe ser para que esto funcione.