¿Es absurdo distinguir entre vectores covariantes y contravariantes?

Question

Un espacio vectorial es un conjunto cuyos elementos satisfacen determinados axiomas. Ahora bien, existen entidades físicas que satisfacen estas propiedades, que pueden no ser flechas. Una transformación de coordenadas es un mapa lineal de un vector a sí mismo con un cambio de base. Ahora bien, la transformación es un concepto abstracto, es sólo un mapeo. Para calcularla necesitamos bases y matrices, y el aspecto final de la transformación depende sólo de la base que elijamos: una transformación puede parecerse a una matriz diagonal si se utiliza una base propia, etc. No tiene nada que ver con el vector, sino con la base. No tiene nada que ver con los vectores que está mapeando, sólo la dimensión de los espacios vectoriales es importante.

Por lo tanto, es absurdo distinguir los vectores en función de cómo cambian sus componentes bajo una transformación de coordenadas, ya que depende de la base que se utilice. Así que en realidad no hay diferencia entre un vector contravariante y covariante hay una diferencia entre una base contravariante y covariante como se muestra en arXiv:1002.3217 . Un producto interior es entre elementos del mismo espacio vectorial y no entre dos espacios vectoriales, no es como se define.

¿Es correcto este planteamiento?

Junto con este enfoque mencionado, podemos ver los covectores como miembros del espacio dual del espacio contravectorial. ¿Qué ventaja tiene este enfoque sobre el anterior mencionado en mi post?

Adenda: Así que ahora hay contra vectores variantes y sus duales llamados vectores covariantes. Pero los duales se definen sólo una vez que se han establecido los contravectores porque son los mapas desde el espacio de contravectores a $R$ y, por tanto, no tendrá sentido hablar sólo de covectores. Entonces, ¿qué significa que el gradiente es un covector? Ahora decir que porque se transforma de una determinada manera no tiene sentido.

Answer 1

Hay vectores de un espacio vectorial (una entidad matemática abstracta). Entonces, para un espacio vectorial hay espacios duales correspondientes. Un elemento de un espacio dual mapea el elemento del espacio vectorial a $R$ este número se denomina $<a,b>$ el producto interior. Ahora, el espacio dual y el espacio vectorial tienen bases que están relacionadas por $<e^i,e_j>=\delta_{ij}$ . Supongamos ahora que existe una transformación lineal de $Av=b$ para el espacio vectorial, y A pertenece al espacio dual y b pertenece a $R$ . Entonces, si decido elegir una nueva base para $v$ tengo que aplicar una transformación lineal a v que será una matriz cuadrada $B$ . Ahora escribo la ecuación como $A$ $B^{-1}$ $B$ $v$ = $b$ . Esto da ahora la transformación lineal $A$ en una nueva base, dada por la matriz $A$ $B^{-1}$ que volverá a ser una matriz de filas. Ahora, lo que ocurrió es que cambiamos la base tanto del espacio vectorial como de su espacio dual de tal forma que la condición $<e^i,e_j>=\delta_{ij}$ se mantiene y debido a la forma en que el vector dual se transforma en este caso, lo llamamos vector covariante. Pero esta denominación no es universal. Es un concepto relativo y puede variar de una situación a otra.

porque el espacio vectorial dual es en sí mismo un espacio vectorial y el hecho de que haya que desecharlo como una matriz de filas se basa en cómo calculamos los mapas lineales y no en lo que son realmente los mapas lineales. Si hubiera definido la multiplicación de matrices de otra manera, esto no habría sucedido.

Ahora bien, la transformación de cambio de base que logramos para el espacio dual podría haberse logrado de la misma manera que el propio espacio vectorial si hubiéramos representado el vector dual como un vector columna y calculado por separado el cambio de base y así el vector se hubiera transformado como $X$ $A^T$ donde $A^T$ denota el vector dual como vector columna.

Así, ahora el vector dual se transforma como el propio vector contravariante bajo transformación de cambio de base.

Así que la misma transformación se puede conseguir de la forma que se quiera contravariante o covariante. Un vector es un vector.

Answer 2

La distinción co/contra sólo tiene sentido cuando se habla de campos vectoriales. Incluso entonces la diferencia sólo se hace evidente cuando se trata de espacios curvos o al menos de sistemas de coordenadas curvilíneos La diferencia radica en cómo se relacionan los vectores con el espacio o colector subyacente en el que se definen los campos. Los vectores contravariantes son lo que la gente suele llamar vectores. Se puede prescindir de gran parte de la maquinaria formal si se toma como obvia la noción de campo escalar en un colector :). Un vector (contravariante) es entonces algo que mide la tasa de cambio de un campo escalar a en un punto en una dirección dada. Es decir formalizado considerando los vectores como operadores sobre campos escalares que satisfacen determinadas condiciones. Esta visión hace que los campos vectoriales contravariantes sean funciones de campos escalares a campos escalares. Los vectores covariantes (o covectores) actúan entonces sobre los vectores para medir su componente en una dirección determinada. Esto hace que los campos covectores sean funciones de campos vectoriales a campos escalares. Esto no es trivial, ya que no asumimos ninguna métrica, norma, producto punto o noción de ortogonalidad en los vectores o en la variedad subyacente. Una vez introducida una métrica, obtenemos un isomorfismo natural entre vectores y covectores, Se utilizan entonces bases covariantes y contravariantes para representar el mismo objeto geométrico como vector o como covector. Obsérvese que los vectores contravariantes se representan en términos de bases covariantes y viceversa.

Answer 3

No podemos decir que distinguir entre vector covariante y vector covariante sea un poco estúpido.

Sin embargo, no hay realmente ninguna necesidad de restringir el vector físico para ser covariante o covariante. De hecho, cualquier vector, como la velocidad, el gradiente o cualquier otro tipo de vector puede ser considerado como covariante o contravariante en la transformación de coordenadas, aunque usted puede encontrar que por lo general la velocidad se refiere a vector contravariante, y el gradiente se refiere a vector covariante.

Por definición, las componentes de una transformación vectorial covariante obedecen a la ley : $$ \overline A_i = \sum_{j=1}^n \frac {\partial x^j} {\partial \overline x^i} A_j \qquad \qquad (1) $$

y los componentes de una transformación vectorial contravariante obedecen a la ley : $$ \overline A^i = \sum_{j=1}^n \frac {\partial \overline x^j} {\partial x^i} A^j \qquad \qquad (2)$$

No hay restricciones para los tipos de vectores $A_j$ y $A^j$ y podemos realizar la transformación de coordenadas según las reglas.