¿Es absurdo distinguir entre vectores covariantes y contravariantes?

Question

Un espacio vectorial es un conjunto cuyos elementos satisfacen determinados axiomas. Ahora bien, existen entidades físicas que satisfacen estas propiedades, que pueden no ser flechas. Una transformación de coordenadas es un mapa lineal de un vector a sí mismo con un cambio de base. Ahora bien, la transformación es un concepto abstracto, es sólo un mapeo. Para calcularla necesitamos bases y matrices, y el aspecto final de la transformación depende sólo de la base que elijamos: una transformación puede parecerse a una matriz diagonal si se utiliza una base propia, etc. No tiene nada que ver con el vector, sino con la base. No tiene nada que ver con los vectores que está mapeando, sólo la dimensión de los espacios vectoriales es importante.

Por lo tanto, es absurdo distinguir los vectores en función de cómo cambian sus componentes bajo una transformación de coordenadas, ya que depende de la base que se utilice. Así que en realidad no hay diferencia entre un vector contravariante y covariante hay una diferencia entre una base contravariante y covariante como se muestra en arXiv:1002.3217 . Un producto interior es entre elementos del mismo espacio vectorial y no entre dos espacios vectoriales, no es como se define.

¿Es correcto este planteamiento?

Junto con este enfoque mencionado, podemos ver los covectores como miembros del espacio dual del espacio contravectorial. ¿Qué ventaja tiene este enfoque sobre el anterior mencionado en mi post?

Adenda: Así que ahora hay contra vectores variantes y sus duales llamados vectores covariantes. Pero los duales se definen sólo una vez que se han establecido los contravectores porque son los mapas desde el espacio de contravectores a $R$ y, por tanto, no tendrá sentido hablar sólo de covectores. Entonces, ¿qué significa que el gradiente es un covector? Ahora decir que porque se transforma de una determinada manera no tiene sentido.

Answer 1

Esperamos que un vector cambie de una determinada manera cuando cambiamos la escala que utilizamos para medir la distancia. Consideremos el vector $$\vec{x}=(1, 0, 0)\,\mathrm{m}$$ Si cambiamos de escala y ahora medimos en centímetros este vector se convierte en $$\vec{x}=(100, 0 ,0)\,\mathrm{cm}$$ Consideremos ahora un vector que representa una fuerza: $$ \vec{F}=(1,0,0)\,\mathrm{J/m}$$ donde he optado por escribir J/m en lugar de Newtons para recordarnos que la fuerza es el gradiente de una función potencial. Pues bien, ese potencial no va a cambiar porque Yo he escalas cambiadas. Todavía está en el espacio en algún lugar, simplemente ahí. Entonces, ¿qué aspecto tiene el vector de fuerza cuando se mide en un marco basado en cm? $$\vec{F} = (0.01, 0,0)\,\mathrm{J/cm}$$ Ese "vector" $\vec{F}$ no se transforma correctamente Pero observa que en cualquiera de los dos marcos, el cálculo del trabajo realizado al mover un objeto un metro contra una fuerza de un Newton sigue siendo el mismo: $$W=\vec{F}\cdot\vec{x} = (1,0,0)\cdot (1,0,0) = (100,0,0)\cdot (0.01, 0,0) = 1\,\mathrm{J}$$ Las cantidades definidas como gradientes pertenecen a un espacio vectorial, pero es un tipo de espacio vectorial distinto del que contiene las distancias. Así pues, hacemos la distinción covariante (a veces denominado cogradiente -- "como un gradiente" -- especialmente en la literatura más antigua) y contravariante (o contragradiente -- "opuesto al gradiente")

Para obtener la cantidad físicamente importante energía tenga el mismo valor independientemente del marco en el que lo evaluemos, tenemos que reconocer que existen dos tipos de vectores, y que deben tratarse de forma diferente al cambiar las coordenadas.

Answer 2

Hay dos puntos más que pueden hacerse aquí. Perdón si repito a alguien.

En cierto modo tienes razón en que si tienes un espacio vectorial y su dual no hay forma intrínseca de decir qué espacio es el original y cuál es el dual. Esto se debe a que existe un isomorfismo canónico entre un espacio vectorial y el dual de su dual. En otras palabras, si $V$ es un espacio vectorial y $W=V^*$ su dual, entonces $W^*=(V^*)^*$ es isomorfo a $V$ (de forma canónica). Por lo tanto, el par $V$ y $W$ podría verse como un espacio vectorial $V$ y su dual $W$ o como un espacio vectorial $W$ y su dual $V= W^*$ .

En el contexto de un múltiple, donde suelen aparecer las palabras vectores contravariantes y covariantes, se dice que es necesario definir primero el espacio tangente en un punto y luego su dual el espacio cotangente antes de poder hablar de formas uno, diferenciales, etcétera. Pero no es así. Es cierto que esa es la forma habitual en la mayoría de los libros, pero no la única posible. Si eres un algebrista de espíritu puede que hayas visto y prefieras la siguiente definición. Sea $M$ sea una variedad diferenciable y $p\in M$ un punto. Consideremos el anillo $\mathcal O_p$ de gérmenes de funciones suaves en $p$ . Es un anillo local, es decir, tiene un único ideal maximal $\mathcal m_p$ formado por los gérmenes de las funciones que desaparecen en $p$ .. Entonces el anillo $\mathcal O_p/\mathcal m_p$ es obviamente isomorfo al campo de los números reales. El cociente $\mathcal m_p/\mathcal m^2_p$ es de forma natural un espacio vectorial sobre $\mathcal O_p/\mathcal m_p=\mathbb R$ . Se trata del espacio cotangente de la multiplicidad en ese punto, normalmente denotado por $T^*_pM$ . De esta forma se pueden definir los "covectores" sin definir primero los vectores. El espacio tangente es entonces el dual.

Answer 3

La noción de covarianza y contravarianza depende del contexto: Si quisieras ser lo más claro posible, en realidad deberías mencionar con respecto a qué los componentes se transforman co o contravariantemente.

En el caso del dual algebraico de espacios vectoriales de dimensión finita, el contexto implícito es un cambio de base del espacio vectorial. Entonces, podemos ver cómo se comportan los componentes de los vectores y los vectores duales con respecto a ese cambio.

En el caso de la geometría diferencial, el contexto implícito es el cambio de coordenadas de la variedad base, que induce un cambio de base del espacio tangente dado por la matriz de Jacobi. Con respecto a ese cambio de base, las componentes de los vectores tangentes se transforman de forma contravariante, y las componentes de los vectores cotangentes se transforman de forma covariante.

Vale la pena mencionar en este punto que los vectores tangente y cotangente pueden definirse independientemente de sus leyes de transformación y sin hacer uso del emparejamiento de dualidad: Moralmente hablando (para no confundir la cuestión con tecnicismos), los vectores tangentes sobre una variedad $M$ son clases de equivalencia de mapas $\mathbb R\to M$ mientras que los vectores cotangentes son clases de equivalencia de mapas $M\to\mathbb R$ . Ambos forman espacios vectoriales por derecho propio, y cualquiera de ellos puede considerarse el dual algebraico del otro una vez que se introduce la noción de emparejamiento. Pero son objetos geométricos distintos, y una forma de hacer explícita esa distinción es observar cómo se comportan sus coordenadas.

Answer 4

I) No, es importante distinguir entre tensores covariantes y contravariantes.

El enlace del OP menciona geometría diferencial . Si uno sólo ha estudiado esos objetos en el contexto de variedades pseudo-riemannianas $(M;g)$ que viene equipada con una métrica (invertible) $(0,2)$ tensor $g$ entonces la existencia del isomorfismo musical puede que ofusque innecesariamente las nociones precisas de covariante y contravariante tensores en algunos tratamientos.

Por lo tanto, se recomienda estudiar esto en un entorno desnudo de un colector $M$ sin asumiendo estructuras adicionales, tales como, un tensor métrico $g$ .

II) De hecho, si uno está confundido acerca de los tensores covariantes y contravariantes, primero debe estudiar esto en el ámbito de los mapas multilineales de espacios vectoriales de dimensión finita $V$ (en contraposición al contexto de la geometría diferencial y los manifolds $M$ ).

La recomendación anterior se traduce (en el ámbito multilineal) en el estudio de mapas multilineales de un espacio vectorial de dimensión finita $V$ sin asumiendo estructuras adicionales, tales como, un producto interior (no degenerado) $\langle \cdot | \cdot \rangle :V\times V \to \mathbb{R}$ .

Por supuesto siempre hay infinitas maneras de poner un producto interior (no degenerado) $\langle \cdot | \cdot \rangle$ en un espacio vectorial de dimensión finita $V$ que conducen a un isomorfismo musical: $V\cong V^*$ . Pero el punto crucial es que hay sin elección canónica de un producto interior (no degenerado) $\langle \cdot | \cdot \rangle$ en $V$ .

Answer 5

Diré que la definición estándar de vectores y formas únicas no es la más limpia del mundo. Una definición moderna de vectores diría que un espacio vectorial es un mapeo de las funciones en el espacio a sí mismo que satisface la regla de Leibniz y es lineal (alternativamente, el espacio vectorial es la aproximación lineal local del espacio). Entonces, el conjunto de formas únicas es un mapeo lineal desde el espacio vectorial al espacio de funciones en el espacio tangente.