Cómo puedo probar que $2^{\sqrt 7}$ es mayor que $5$?

Question

Este es uno de mis intentos: $5=2^{\log_2 5}$. Luego, debo demostrar que: ${\sqrt 7} > {\log_2 5}$.

Así que, ¿me pueden ayudar a terminar esta prueba o sugerir otro?

Answer 1

Sugerencia: $\sqrt{7}>\frac{5}{2}$.

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$5\lt2^\sqrt7\iff5^\sqrt7\lt(2^\sqrt7)^\sqrt7=2^7=128$$

Pero, claramente,$\sqrt7\lt3$, lo $5^\sqrt7\lt5^3=125$.

Añadido posterior: Va más allá de lo que el OP peticiones, he aquí una prueba de que $6\lt2^\sqrt7$, en suficiente detalle, de que todo puede ser revisado, creo que, sin recurrir a una calculadora.

Nota primero que

$$2\lt1+{7\over6}\lt\left(1+{1\over6}\right)^7=\left(7\over6\right)^7\implies 2\cdot6^7\lt7^7$$

y

$$3^5=243\lt256=2^8\implies3^5\cdot3^7\lt2^8\cdot3^7\implies3^{12}\lt2\cdot6^7$$

Poniendo a estos en conjunto, se han

$$3^{12}\lt7^7$$

A partir de aquí, mediante la fácil desigualdad $5/2\lt\sqrt7$ (que puede ser visto desde $5^2=25\lt28=4\cdot7$) y la igualdad de $(\sqrt7+1)(\sqrt7-1)=6$, tenemos

$$\begin{align} 3^{12}\lt7^7 &\implies3^6\lt7^{7/2}\\ &\implies3^6\lt7^{\sqrt7+1}\\ &\implies3^{(\sqrt7-1)(\sqrt7+1)}\lt7^{\sqrt7+1}\\ &\implies3^{\sqrt7-1}\lt7\\ &\implies3^{\sqrt7+1}\lt9\cdot7=63\lt64=2^6=2^{(\sqrt7-1)(\sqrt7+1)}\\ &\implies3\lt2^{\sqrt7-1}\\ &\implies6\lt2^\sqrt7 \end{align}$$

Si hay un apreciablemente más fáciles de la prueba, me interesaría ver a uno; yo estaba un poco sorprendido este tuvo tantos pasos como lo hizo.

Agregó luego: he Aquí un apreciablemente más fáciles de la prueba, usando el hecho de que $7\lt64/9$ implica $\sqrt7\lt8/3$ y la desigualdad $3^8\lt2^{13}$, que se puede comprobar observando

$$3^8=81^2\lt90^2=8100\lt8160=8\cdot1020\lt8\cdot1024=2^{13}$$

Poniendo a estos en conjunto, se han

$$\begin{align} 3^8\lt2^{13} &\implies2^8\cdot3^8\lt2^8\cdot2^{13}\\ &\implies6^8\lt2^{21}\\ &\implies6^{8/3}\lt2^7\\ &\implies6^\sqrt7\lt2^7\\ &\implies6\lt2^\sqrt7 \end{align}$$

Answer 3

Esta solución es claramente peor, pero apenas va a demostrar si intenta suficientes cosas algo va a funcionar.

Quieres demostrar $a<b$, por lo demuestran $2^{(a^2)}<2^{(b^2)}$.

En este caso queremos $2^{(\log_2{5})^2}<2^7$

De curso $(\log_2{5})^2<3(\log_25)$ (desde $2^3=8>5)$.

Por lo que es suficiente para demostrar $(2^{log_2{5}})^3<2^7$. Pero, por supuesto, $125<128$

Answer 4

Buen inicio. Lo que usted necesita para demostrar que el cuadrado de la 2-registro de 5 es menor que 7, o, equivalentemente, que el cuadrado del doble de la 2-registro de 5 es menor que 28.

Pero el cuadrado del doble de la 2-registro de 5 es en realidad la plaza de la 2-registro de 25. Este último es menor que 5 (porque el 2-registro de 32 es de 5) de modo que su cuadrado es menor de 25, a fortiori , con menos de 28.

Answer 5

Sugerencia: utilice $5^\sqrt{7}<5^3$.