Me encontré con esta pregunta (planteada por Fermat) en una carta de Fermat a carcavi " y se preguntaba cuál sería el mejor modo elemental para resolverlo.
Resolver en los enteros positivos$$(2x^2-1)^2=2y^2 - 1$$
Cualquier ayuda será apreciada.
Gracias de antemano.
La solución de la ecuación de Pell: $$ X^2-2y^2 = -1 \tag{1}$$ están dadas por $X=1,7,41,239,1393,8119,\ldots $ (OEIS A002315), por lo que estamos buscando enteros de la forma $2x^2-1$ entre los términos de la secuencia dada por: $$ X_1 = 1,\qquad X_2 = 7,\qquad X_{n+2}=6 X_{n+1}-X_n \tag{2}$$ o: $$\begin{eqnarray*} X_n = \frac{(1+\sqrt{2})^{2n-1}+(1-\sqrt{2})^{2n-1}}{2}&=&\sum_{j=0}^{2n-2}(-1)^j(1+\sqrt{2})^{2n-2-j}(1-\sqrt{2})^{j}\\&=&\sum_{k=0}^{n}\binom{2n-1}{2k-1}2^{n-k}. \tag{3}\end{eqnarray*}$$ Es fácil comprobar que $n=1,2$ dar dos soluciones; no es obvio que $n=1,2$ dar las únicas soluciones; probablemente la propiedad $ X_n^2-X_{n-1}X_{n+1}=8$ puede ser explotado de alguna manera engañosa.
Para $y$ un primo, la solución más sencilla que he visto es esta respuesta en otro hilo. No tengo ninguna duda de que (muy elemental) método podría ser adaptada para resolver el teorema general. Otra solución, dada por Mahoney, me replica aquí.
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