La determinación de la matriz de $A$$B$, matriz rectangular

Question

Deje $A$ $3\times 2$ matriz y $B$ $2\times 3$ ser matrices de satisfacciones $$AB=\begin{pmatrix} 8 & 2 & -2\\ 2 & 5 & 4\\ -2 & 4 & 5\end{pmatrix}$$ Calcular el $BA$. ¿Cómo iría para este problema? Podemos empezar por darse cuenta de la matriz es simétrica? Cualquier sugerencias/ideas? Gracias

Answer 1

Este es un problema extraño. En general, la pregunta no sería bien planteado. Como se observa en el comentario de @JohnMa es necesario que el $3\times 3$-matriz tiene rango dos. Este es satisfecho, pero incluso entonces, la pregunta no sería bien planteados en general. Es decir, si $A$ $B$ son tales que $AB$ es la matriz dada, entonces para cualquier invertible $2\times 2$ matriz $T$ $AT$ $T^{-1}B$ tienen la misma propiedad. En ese camino de $BA$ se sustituye por $T^{-1}BAT$, que es diferente de $BA$ en general. Por lo tanto el único caso en el que la pregunta está bien planteada es si $BA$ es un múltiplo de la matriz identidad, y con la $3\times 3$-matriz, de hecho obtener $BA=9I$.

EDIT: he reescrito y ampliado el siguiente apartado un poco, siguiendo el comentario de @CarlosMendoza:

La manera de probar esto, es como sigue. Primero calcular los autovalores de a $AB$ y encontrar que son $0$ (multiplicidad) y $9$ (multiplicidad dos). En particular, $AB$ tiene rango dos, y ver como un lineal mapa de $\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ su núcleo está dado por la $0$-espacio propio y su imagen está dada por la $9$-espacio propio. (La primera igualdad es por definición, mientras que para el segundo, el espacio propio es, obviamente, contenida en la imagen y tiene la misma dimensión.) Ahora las matrices $A$ $B$ corresponden a lineal mapas de $\mathbb R^2\to\mathbb R^3$$\mathbb R^3\to \mathbb R^2$, respectivamente, por lo que ambos tienen un rango en la mayoría de los dos. Por definición, el núcleo de $B$ está contenida en el núcleo de $AB$ y la imagen de $AB$ está contenida en la imagen de $A$. Dado que el núcleo de $B$ tiene, al menos, de dimensión uno y la imagen de $A$ tiene más de dimensión dos, estas dos inclusiones debe ser la igualdad. En particular, la imagen de $A$ $9$--subespacio propio de $AB$, y las llamadas a este $V$, $A$ debe definir un isomorfismo lineal $\mathbb R^2\to V$. Pero esto implica inmediatamente que $(AB)A=9A$ desde $AB$ es la multiplicación por $9$$V$. La reescritura de la mano izquierda como $A(BA)$, consigue $A(BAx)=A(9x)$ todos los $x\in\mathbb R^2$, y desde $A$ es inyectiva, esto implica $BAx=9x$ todos los $x\in\mathbb R^2$.

Answer 2

Lo siento, no tengo tiempo para desarrollar al ejercicio, pero creo que te puedo dar algunos consejos. Después de eso creo que es más o menos sencillo. Considere la posibilidad de \begin{equation} A=\left(\begin{array}{ccc} a & c & e\\ b & d & f\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{equation} \begin{equation} B=\left(\begin{array}{ccc} g & h & 0\\ i & l & 0\\ m & n & 0 \end{array}\right) \end{equation} Así tenemos \begin{equation} BA=\left(\begin{array}{ccc} u & v & 0\\ w & z & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{equation} Algunos invariantes son: \begin{equation} trAB=trBA \end{equation} Y de esto se han
\begin{equation} u+z=18 \end{equation} Puesto que AB es simmetric así es BA \begin{equation} v=w \end{equation} La fórmula de Binet no debe ser tan útil porque detAB=detBA=0 De todas formas creo que a partir de aquí, más o menos, Usted puede proceder con el cálculo directo.Déjame saber.

Answer 3

El uso de la sugerencia de @WillJagy y directa el enfoque sugerido por @Dac0, tenemos $$ A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ e & f\\ \end{bmatrix}\qquad B = \begin{bmatrix} a & c & e\\ b & d & f\\ \end{bmatrix} $$

y de $AB$ se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones

\begin{align} a^2 + b^2 &= 8\\ c^2 + d^2 &= 5\\ e^2 + f^2 &= 5\\ ac + bd &= 2\\ ae + fb &= -2\\ ec + fd &= 4\\ \end{align}

Lo resuelto en WolframAlpha y probado con esta solución particular(de infinitas soluciones):

$$ A = \begin{bmatrix} -2 & -2\\ -2 & 1\\ -1 & 2\\ \end{bmatrix}\qquad B = \begin{bmatrix} -2 & -2 & -1\\ -2 & 1 & 2\\ \end{bmatrix} $$

Curiosamente,

$$BA = \begin{bmatrix} 9 & 0\\ 0 & 9\\ \end{bmatrix} $$

que corresponde a la solución propuesta por @AndreasCap. Es interesante también observar que las columnas de a $A$ son ortogonales y sus cuadrado de la longitud son iguales a $9$, la no-cero autovalor de a $AB$ con multiplicidad $2$.

Me dio importancia a @WillJagy sugerencia porque de alguna manera se acordaba de mí de la matriz de covarianza. No estoy diciendo que es lo mismo, pero no son agradables similitudes.

Answer 4

Último momento: reducción de Hermite, que no es nada peor que "completar el cuadrado" un par de veces, funciona por tiempo indefinido cuadráticas formas; el resultado de la diagonal de la matriz, a continuación, tiene algunas anotaciones negativas. Dado que la forma cuadrática en este problema es positiva semidefinite, es posible continuar, al final me $W^T W = C,$ donde $C$ es el dado por el 3 por 3 matriz y $W$ es de 2 por 3.

Dado que la matriz (a la que estoy llamando es $C$) ha entero entradas y es simétrica, es natural para investigar "congruencia" de diagonalización de ella, que es encontrar un racional matriz $P$ de determinante $1,$ tal que $$ P^T C P = D $$ is diagonal. I am actually going to save some time by going directly to Hermite reduction, finding a rational matrix $R$ of determinant $1,$ que $$ R^T D R = C, $$ where we construct $D$ diagonal. Note $R= P^{-1}.$

Tomar un vector columna $$ \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) $$

Con $$C=\begin{pmatrix} 8 & 2 & -2\\ 2 & 5 & 4\\ -2 & 4 & 5\end{pmatrix}$$ obtenemos $$ v^T C v = 8 x^2 + 5 y^2 + 5 z^2 + 8 y z - 4 z x + 4 x y $$ Hermite reducción dice a empezar con $8 (x+ \mbox{stuff})^2$ a deshacerse de todas las $x$ términos, los ser $8x^2 - 4 zx+ 4 x y.$ Y nos encontramos con $$ 8 (x + \frac{y}{4} - \frac{z}{4})^2 = 8 x^2 + \frac{y^2}{2}+ \frac{z^2}{2} - y z - 4 z x + 4 x y $$ Usted realmente puede hacer esto a mano! $$ v^T C v - 8 (x + \frac{y}{4} - \frac{z}{4})^2 = \frac{9y^2}{2} + \frac{9z^2}{2} + 9 y z. $$

Segundo paso: deshacerse de $y^2$ $yz$ términos, con $(9/2)(y + ??)^2$ Y $$ \frac{9}{2} (y+z)^2 = \frac{9y^2}{2} + \frac{9z^2}{2} + 9 y z. $$ Hermite del método termina temprano, porque $$ v^T C v = 8 \left(x + \frac{y}{4} - \frac{z}{4} \right)^2 + \frac{9}{2} (y+z)^2 $$

Hasta el momento, hemos encontrado (esto se hace más rápida si usted la formas cuadráticas todo el día) $$ D = \left( \begin{array}{ccc} 8 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ $$ R = \left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$ tal que $$ R^T D R = C. $$ Cheque!

Ahora, podemos escribir $D$ $H^T H?$ Sí, por supuesto, es positivo semidefinite, podríamos utilizar

$$ H = \left( \begin{array}{ccc} \sqrt 8 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt {\frac{9}{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ Sin embargo, $8 \cdot (9/2) = 36$ es un cuadrado; es mucho más bonita si tenemos en cuenta que tanto $8$ $9/2$ puede ser expresado como $u^2 + v^2$ con rational $u,v.$ de Hecho, ambos se $2 u^2,$ que $2 \cdot 2^2 = 8$ $2 \cdot \left( \frac{3}{2}\right)^2 = 9/2.$

Pensé en una mejor manera de poner este bit. $$ 2 \left(8 u^2 + \frac{9}{2} v^2 \right) = 16 u^2 + 9 v^2 = (4u)^2 + (3v)^2. $ $ , En general, $$ 2 \left(A^2 + B^2 \right) = (A-B)^2 + (A+B)^2, $$ $$ \frac{1}{2} \left(A^2 + B^2 \right) = \left( \frac{A-B}{2} \right)^2 + \left( \frac{A+B}{2} \right)^2, $$ $$ \frac{1}{2} \left((4u)^2 + (3v)^2 \right) = \left( \frac{4u-3v}{2} \right)^2 + \left( \frac{4u+3v}{2} \right)^2, $$ $$ 8 u^2 + \frac{9}{2}v^2 = \left( \frac{4u-3v}{2} \right)^2 + \left( \frac{4u+3v}{2} \right)^2. $$ Esto significa que podemos tomar

$$ H = \left( \begin{array}{ccc} 2 & -\frac{3}{2} & 0 \\ 2 & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ En el lenguaje de la integral cuadráticas formas, podemos decir que $8 u^2 + \frac{9}{2}v^2$ racionalmente es representado por $s^2 + t^2;$ hemos escrito $$ \left( 2 u -\frac{3}{2} v \right)^2 + \left( 2 u +\frac{3}{2} v \right)^2 = 8 u^2 + \frac{9}{2}v^2$$

Ahora, no queremos mantener a $H$ 3 por 3, obtenemos el mismo $K^T K = D$ $K$ 2 por 3 con

$$ K = \left( \begin{array}{ccc} 2 & -\frac{3}{2} & 0 \\ 2 & \frac{3}{2} & 0 \end{array} \right) $$ simplemente la supresión de la última fila de ceros.

Tenemos $K^T K = D$ $R^T D R = C.$ ponerlos juntos, $$ C = R^T (K^T K) R = R^T K^T K R = (R^T K^T) K R = (KR)^T (KR).$$ Hacemos un nuevo nombre de matriz, $$ W = K R $ $ , que es de 2 por 3 y se soluciona $$ W^T W = C. $$

$$ \color{blue}{ W = \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array} \right)} $$

Ellos quieren que la inversa de producto,

$$ W W^T = \left( \begin{array}{cc} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{array} \right) $$

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