$$y''' - y = 2\sin(x)$$
Estoy haciendo ecuaciones diferenciales y conocer prácticamente todos los métodos de resolución de ellos, pero no he encontrado nada de un orden superior al segundo todavía.
¿Cómo puedo resolver esto?
$$y''' - y = 2\sin(x)$$
Estoy haciendo ecuaciones diferenciales y conocer prácticamente todos los métodos de resolución de ellos, pero no he encontrado nada de un orden superior al segundo todavía.
¿Cómo puedo resolver esto?
En lugar de resolver el dado por la ecuación diferencial, voy a enseñar a pescar.
Dado $n\in \mathbb N$, determinado$a_0, \ldots ,a_n, \alpha, \beta\in \mathbb R$, y dada la ODA $$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots + a_0y=f \tag{ODE}$$
si $\forall x\in \mathbb R\left(f(x)=P(x)e^{\alpha x}\cos(\beta x)+Q(x)e^{\alpha x}\sin(\beta x)\right)$, para algunos polinomios $P$$Q$, entonces una solución particular $y_p$ $\text{ODE}$ está determinado por $$\forall x\in \mathbb R\left[y_p(x)=x^k\left(R(x)e^{\alpha x}\cos(\beta x)+S(x)e^{\alpha x}\sin(\beta x)\right)\right],$$ donde $R,S$ son polinomios tales que el $\deg\left(R\right)=\deg\left(S\right)=\max\left(\deg\left(P\right), \deg\left(Q\right)\right)$ $k$ es la multiplicidad de $\alpha +\beta i$ como una raíz del polinomio característico de la ecuación homogénea asociada con $\text{ODE}$ ($a_n\lambda ^n+\ldots +a_1\lambda + a_0$), con el convenio que $k=0$ si $\alpha +\beta i$ no es una raíz del polinomio.
La adición de su solución favorita $y_h$ de la ecuación homogénea, los rendimientos de la familia de soluciones de $y_h+y_p$.
Ejemplo: Considere la ecuación diferencial determinado por $$y''(x)-y'(x)+9y(x)=3\sin(3x)\tag{EX}$$
En la notación anterior $n=2, a_2=1, a_1=-1, a_0=9, \alpha=0, \beta=3, P(x)=0, Q(x)=3, f(x)=3\sin(3x)$ $k=0$ (desde $3i$ no es una raíz de $\lambda ^2-\lambda +9$).
Así, una solución particular a $\text{EX}$ está determinado por $$y_p(x)=x^0\left[R(x)\cos(3x)+S(x)\sin(3x)\right] \tag{PS}$$ donde $R$ $S$ son polinomios cuyo grado es $0$, es decir, son constantes, por lo que para algunos $A,B\in \mathbb R$, $\text{PS}$ es equivalente a $$y_p(x)=A\cos(3x)+B\sin(3x).$$
Ahora sustituir la expresión en el lado derecho de la fórmula anterior en $\text{EX}$.
Uno tiene $$y'_p(x)=-3A\sin(3x)+3B\cos(3x),$$ $$y''_p(x)=-9A\cos(3x)-9B\sin(3x).$$
Por lo tanto, sustituyendo en la ecuación y reorganización de los rendimientos $$(-9A-3B+9A)\cos(3x)+(-9B+3A+9B)\sin(3x)=3\sin(3x).$$
Desde $\{\cos , \sin\}$ es linealmente independiente sobre $\mathbb R$, se deduce que el $-3B=0$$3A=3$, produciendo $y_p(x)=\cos(x)$.
La solución de la ecuación homogénea $$ y"'-y=0 $$ no deberían suponer ningún problema: las raíces del polinomio característico $X^3-X$ $0$, $-1$ y $1$. Para una solución particular, considere la posibilidad de que la derivada de una función de la forma $$ g(x)=a\cos x+b\sin x $$ es una función de la misma forma.
Una manera de buscar soluciones particulares de la ecuación dada (voy a suponer que estás bien con la solución homogénea, la cual generalmente es más fácil, en principio), es el siguiente.
Considere la posibilidad de la colección de la función $f, f', f'', f''', f^{(iv)}, \ldots$. Si en algún punto de estas funciones forman una finito-dimensional espacio vectorial es decir, no termina siendo cierta relación lineal de la forma $$ f^{(n)} = \sum_{k=0}^{n-1}a_kf^{(k)} $$ a continuación, puede utilizar como una conjetura para su solución particular de la función de prueba $$ \sum_{k=0}^{n-1}A_kf^{(k)} $$ Si usted sustituir esto en la ecuación diferencial, entonces usted va a encontrar algunas de ecuaciones lineales que se determinan los coeficientes de $A_k$. Esta es, en pocas palabras, el método de coeficientes indeterminados.
En su caso, $f = 2\sin(x)$. Sus derivados se $f' = 2\cos(x)$$f'' = -2\sin(x)$, que los rendimientos de la relación $$ f" = (-1)f + 0 f' $$ y por lo que debemos usar el adivinar $$ y_p(x) = Af(x) + Bf'(x) $$ o, más sencillamente, $$ y_p(x) = \sin(x) + B\cos(x) $$
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