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Cómo solucionar $y''' - y = 2\sin(x)$

$$y''' - y = 2\sin(x)$$

Estoy haciendo ecuaciones diferenciales y conocer prácticamente todos los métodos de resolución de ellos, pero no he encontrado nada de un orden superior al segundo todavía.

¿Cómo puedo resolver esto?

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Git Gud Puntos 26292

En lugar de resolver el dado por la ecuación diferencial, voy a enseñar a pescar.

Dado $n\in \mathbb N$, determinado$a_0, \ldots ,a_n, \alpha, \beta\in \mathbb R$, y dada la ODA $$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots + a_0y=f \tag{ODE}$$

si $\forall x\in \mathbb R\left(f(x)=P(x)e^{\alpha x}\cos(\beta x)+Q(x)e^{\alpha x}\sin(\beta x)\right)$, para algunos polinomios $P$$Q$, entonces una solución particular $y_p$ $\text{ODE}$ está determinado por $$\forall x\in \mathbb R\left[y_p(x)=x^k\left(R(x)e^{\alpha x}\cos(\beta x)+S(x)e^{\alpha x}\sin(\beta x)\right)\right],$$ donde $R,S$ son polinomios tales que el $\deg\left(R\right)=\deg\left(S\right)=\max\left(\deg\left(P\right), \deg\left(Q\right)\right)$ $k$ es la multiplicidad de $\alpha +\beta i$ como una raíz del polinomio característico de la ecuación homogénea asociada con $\text{ODE}$ ($a_n\lambda ^n+\ldots +a_1\lambda + a_0$), con el convenio que $k=0$ si $\alpha +\beta i$ no es una raíz del polinomio.

La adición de su solución favorita $y_h$ de la ecuación homogénea, los rendimientos de la familia de soluciones de $y_h+y_p$.

Ejemplo: Considere la ecuación diferencial determinado por $$y''(x)-y'(x)+9y(x)=3\sin(3x)\tag{EX}$$

En la notación anterior $n=2, a_2=1, a_1=-1, a_0=9, \alpha=0, \beta=3, P(x)=0, Q(x)=3, f(x)=3\sin(3x)$ $k=0$ (desde $3i$ no es una raíz de $\lambda ^2-\lambda +9$).

Así, una solución particular a $\text{EX}$ está determinado por $$y_p(x)=x^0\left[R(x)\cos(3x)+S(x)\sin(3x)\right] \tag{PS}$$ donde $R$ $S$ son polinomios cuyo grado es $0$, es decir, son constantes, por lo que para algunos $A,B\in \mathbb R$, $\text{PS}$ es equivalente a $$y_p(x)=A\cos(3x)+B\sin(3x).$$

Ahora sustituir la expresión en el lado derecho de la fórmula anterior en $\text{EX}$.

Uno tiene $$y'_p(x)=-3A\sin(3x)+3B\cos(3x),$$ $$y''_p(x)=-9A\cos(3x)-9B\sin(3x).$$

Por lo tanto, sustituyendo en la ecuación y reorganización de los rendimientos $$(-9A-3B+9A)\cos(3x)+(-9B+3A+9B)\sin(3x)=3\sin(3x).$$

Desde $\{\cos , \sin\}$ es linealmente independiente sobre $\mathbb R$, se deduce que el $-3B=0$$3A=3$, produciendo $y_p(x)=\cos(x)$.

4voto

egreg Puntos 64348

La solución de la ecuación homogénea $$ y"'-y=0 $$ no deberían suponer ningún problema: las raíces del polinomio característico $X^3-X$ $0$, $-1$ y $1$. Para una solución particular, considere la posibilidad de que la derivada de una función de la forma $$ g(x)=a\cos x+b\sin x $$ es una función de la misma forma.

2voto

Simon Rose Puntos 4203

Una manera de buscar soluciones particulares de la ecuación dada (voy a suponer que estás bien con la solución homogénea, la cual generalmente es más fácil, en principio), es el siguiente.

Considere la posibilidad de la colección de la función $f, f', f'', f''', f^{(iv)}, \ldots$. Si en algún punto de estas funciones forman una finito-dimensional espacio vectorial es decir, no termina siendo cierta relación lineal de la forma $$ f^{(n)} = \sum_{k=0}^{n-1}a_kf^{(k)} $$ a continuación, puede utilizar como una conjetura para su solución particular de la función de prueba $$ \sum_{k=0}^{n-1}A_kf^{(k)} $$ Si usted sustituir esto en la ecuación diferencial, entonces usted va a encontrar algunas de ecuaciones lineales que se determinan los coeficientes de $A_k$. Esta es, en pocas palabras, el método de coeficientes indeterminados.

En su caso, $f = 2\sin(x)$. Sus derivados se $f' = 2\cos(x)$$f'' = -2\sin(x)$, que los rendimientos de la relación $$ f" = (-1)f + 0 f' $$ y por lo que debemos usar el adivinar $$ y_p(x) = Af(x) + Bf'(x) $$ o, más sencillamente, $$ y_p(x) = \sin(x) + B\cos(x) $$

1voto

Hagen von Eitzen Puntos 171160

Vea si usted puede encontrar una solución para $$y'''-y=ae^{bx} $$ (Sugerencia: trate de algo $e$xponential). A continuación, recordar cómo sinusoidal (y coseno) y exponencial están conectados

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