Valores propios del producto de Kronecker

Question

Tal vez sea simple pero no puedo ver la solución de este problema (Russell Merris, Álgebra Multilínea , CRC Press, 1997, capítulo 6, p.202, ejercicio 4):

Deje que $ \lambda_1 , \ldots , \lambda_p $ son los valores propios de $A \in\mathbb C_{p,p}$ (multiplicidades incluidas), y $ \omega_1 , \ldots , \omega_q $ son los valores propios de $B \in\mathbb C_{q,q}$ respectivamente. Encuentra los valores propios de

a. $A \otimes B - B \otimes A$ .

b. $A \otimes B + B \otimes A$ .

Desde el capítulo 5, conozco los valores propios de $A \otimes B$ y $A \otimes I_q + I_p \otimes B$ :

1. Los valores propios de $A \otimes B$ son $ \lambda_i \cdot \omega_j $ , $1 \leq i \leq p$ , $1 \leq j \leq q$

2. Los valores propios de $A \otimes I_q + I_p \otimes B$ son $ \lambda_i + \omega_j $ , $1 \leq i \leq p$ , $1 \leq j \leq q$

Estos hechos pueden darnos una descomposición de $A \otimes B \pm B \otimes A$ .

Esto puede ser muy simple pero necesito una pista.

También hice algunos cálculos de Matlab con matrices enteras, y obtuve valores propios no enteros/no reales... tal vez las raíces cuadradas están involucradas...

¡Gracias!

Answer 1

No tengo el libro de Merris, pero algo parece olvidarse en la pregunta - en la forma actual no puede ser respondida.

Considere, por ejemplo, las matrices diagonales $A$ y $B$ explícitamente dada por $$A= \operatorname {diag} \left\ { \lambda_1 , \lambda_2 , \lambda_3\right\ }, \qquad B= \operatorname {diag} \left\ { \omega_1 , \omega_2\right\ },$$ para que \begin {alinear} &A \otimes B+B \otimes A= \\ =\,& \operatorname {Diag} \left\ {2 \lambda_1\omega_1 , \lambda_2\omega_1 + \lambda_1\omega_2 , ( \lambda_2 + \lambda_3 ) \omega_1 ,( \lambda_1 + \lambda_2 ) \omega_2 , \lambda_3\omega_1 + \lambda_2\omega_2 ,2 \lambda_3\omega_2\right\ }. \end {alinear} El espectro de la última matriz no es invariable, por ejemplo, con respecto al intercambio $ \omega_1\leftrightarrow\omega_2 $ .

Además, incluso el ajuste $p=q$ como en el libro al que se hace referencia en el comentario no salva la situación: de nuevo considera la diagonal $2 \times 2$ matrices $A,B$ y noten que el espectro de $A \otimes B+ B \otimes A$ dado por $\{2 \lambda_1\omega_1 , \lambda_1\omega_2 + \lambda_2\omega_1 , \lambda_1\omega_2 + \lambda_2\omega_1 ,2 \lambda_2\omega_2\ }$ no es invariable con el intercambio de valores propios de uno de ellos.