Encontrar el límite de $f_{n}(1)$ si $f_{n}(x)=\int^{x}_{0}f_{n-1}(y)\,dy$ por cada $n$

Question

Considerar la secuencia de $(f_n)$ definido por $$ f_{0}(x)=\frac{1}{(1+x)^3}\quad f_{n}(x)=\int^{x}_{0}f_{n-1}(y)\;\text{dy},\ n\ge1.$$ Encontrar $$\lim_{n\to \infty}f_{n}(1).$$

Yo calculada $f_{1}(x)$, $f_{2}(x)$, $f_{3}(x)$, pero no pude hacerlo de esa manera.

Answer 1

Sugerencia: Demostrar por inducción sobre $n$ que, para cada $n\geqslant1$ y cada una de las $x$ en $[0,1]$, $$|f_n(x)|\leqslant\|f_0\|_\infty\,\frac{x^n}{n!},$$ y deducir que el límite es de...

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad0.$

Comentario: dado un determinado $f_0$, en realidad puede ser una distracción.

Answer 2

Observe que, por convexidad, $$ \frac{1}{8}\leq f_0(x) \leq 1-\frac{7x}{8}\tag{1} $$ así, la integración de la anterior desigualdad varias veces, obtenemos: $$ \frac{x^n}{8n!}\leq f_n(x) \leq \frac{x^n}{n!}-\frac{7}{8}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \tag{2} $$ a partir de la cual se deduce que: $$ \frac{1}{8n!} \leq f_n(1) \leq \frac{8n+1}{8(n+1)!}. \tag{3} $$

Answer 3

Si no me estoy confundiendo, usted puede transformar su integral en $$f_n(x)=f^{(-n)}(x)=\int_{0}^x\int_{0}^{a_1}\int_0^{a_2}\cdots\int_0^{a_{n-1}}f_0(a_n)da_nda_{n-1}\cdots da_2da_1=\\=\frac{1}{(n-1)!}\int_{0}^{x} (x-t)^{n-1}\frac{1}{(1+t)^3}$$ mediante el uso de la fórmula de Cauchy para repetir la integración,la integral converge para $x=1$ $\frac{1}{(n-1)!}$ diverge (si no me estoy confundiendo)