Son términos con spinors análoga a $ ( \partial_\mu \Phi )(\partial^\mu \Phi)$ prohibido en el Lagrangiano?

Question

Para escalar las partículas, el Lagrangiano consiste en términos de la forma $ ( \partial_\mu \Phi )(\partial^\mu \Phi)$, lo que equivale a través de la integración por partes a $ ( \partial_\mu \partial^\mu \Phi )\Phi$. Me pregunto si en términos análogos para spinors están prohibidas por algunas razones, y si no cómo se interpreta? Por ejemplo, un término como:

$$ \partial^{\dot{a}b} \Psi_{c} \partial_{\dot{a}b} \Psi^{c}, $$

Algunos antecedentes:

Es posible escribir cuatro vectores usign la spinor (Van-der Waerden) notación:

$$ v^{a \dot b} = v^\mu \sigma_\mu^{a \dot b} ,$$ donde $v^\mu$ puede ser visto a transformar como un cuatro-vector.

Por lo tanto, la costumbre de la derivación de operador, es en el formalismo spinor $$ \partial^{a \dot b} = \partial^\mu \sigma_\mu^{a \dot b} $$

y invariante de Lorentz términos en el Lagrangiano que implican primeros derivadas de orden son de la forma:

$$ \Psi_{\dot{a}} \partial^\mu (\sigma_{ \mu})^{\dot{a}b} \Psi_b = (\Psi_L)^{\dagger} \sigma^\mu \partial_\mu \Psi_L $$ y $$ \Psi^{\dot{a}} \partial^\mu (\sigma_{ \mu})_{\dot{a}b} \Psi^{b} = (\Psi_R)^{\dagger} \partial^\mu \bar{\sigma}_\mu \Psi_R .$$

Me preguntaba si términos como

$$ \partial^\mu (\sigma_{ \mu})^{\dot{a}b} \Psi_{c} \partial^\nu (\sigma_{ \nu})_{\dot{a}b} \Psi^{c}, $$

que sería análoga a la del plazo $ ( \partial_\mu \Phi )(\partial^\mu \Phi)$ en el escalar caso, está prohibido por algunas razones, y si no cómo se interpreta?

Answer 1

Tal vez la respuesta correcta es que no necesitamos introducir. Formalmente este término se refiere a la libre lagrange, mientras que libre de lagrange se debe producir la ecuación de movimiento que corresponde a la representación irreducible del grupo de Poincaré con la masa de $m$ y spin $s$. Para spinors corresponde a 1/2 giro campo de Dirac operador implementa irrep del grupo de Poincaré.

Answer 2

Me topé con un pdf, en otra pregunta aquí, donde se dice que un término de la forma $( \partial_\mu \Phi )(\partial^\mu \Phi)$ es prohibido para spinors, porque lleva a un hamilton que es ilimitado desde abajo.

Voy a actualizar esta respuesta tan pronto como me han investigado a cualquier otra

Answer 3

Bueno, sería no renormalizable. Observar, la masa de la dimensión de la cinética plazo debe ser adimensional. Así, por una derivada parcial $\partial$, su masa dimensión debería ser $[\partial]=1$. El diferencial debe ser lo contrario de este, por lo que el 4-volumen debe tener su masa dimensión del ser $[\mathrm{d}^{4}x]=-4$. Por lo tanto la acción de una masa fermionic campo ("la cinética parte de la acción") $$ I_{\text{cinética}}\sim\int\bar{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi\,\mathrm{d}^{4}x $$ debe ser adimensional, lo que implica la $[\psi^{2}]+1-4=0$ o, equivalentemente,$[\psi]=3/2$.

Observar ahora que la masa dimensión para su expresión es $$ [\int\psi\partial^{2}\psi\,\mathrm{d}^{4}x]=3+2-4=+1 $$ que hace que renormalizability problemas. En cuanto a por qué esto hace que nonrenormalizability cuestiones, Juan Báez tiene una página web dedicada a él.